条件分布、独立性在概率统计中的应用

由条件概率自然地引入条件分布律、条件分布函数、条件概率密度、条件数学期望等概念。

1.条件分布

设( X , Y )是二维离散型随机变量，对于固定的j，若 P{ Y =yj} ＞0，则称

P{ X =xi |Y =yj }=P{ X =xi ,Y =y j }|P { Y =yj}，i =1，2，…，为在条件 Y = y j下随机变量X 的条件分布律。

同样，对于固定的i，若 P{ X =xi } ＞0，则称

2.独立性

设X 和Y 为两个随机变量，若对于任意的x 和y，有 P{ X ≤x, Y ≤ y} =P{ X ≤x} P{ Y ≤y} ，则称X 和Y 是相互独立（Mutually independent）的。

对于二维离散型随机变量，上述独立性条件等价于对于( X , Y )的任何可能的取值( xi , y j )有 P{ X =xi ,Y =yj}=P{ X =xi }P { Y =y j}。

对于二维连续型随机变量，独立性条件的等价形式是对一切x 和y，有(www.xing528.com)

这里， f ( x, y )为( X , Y )的联合概率密度函数， f X ( x )和 f Y( y )分别是边缘概率密度函数。

例4 设随机变量X 和Y 是相互独立，且分别服从参数为 λ1 和 λ2 的泊松分布。在已知X + Y = n的条件下，求X 的条件分布。

解 因为X +Y ~P (λ 1+λ2),故

例5 设在一段时间内进入某商店的顾客人数 X ~ P (λ )，每个顾客购买某商品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种商品相互独立。求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y 的分布律。

3.条件数学期望

条件数学期望就是条件分布的数学期望。

例6 X 表示中国成年人的身高，则 E ( X )为中国成年人的平均身高，Y 表示中国成年人的足长，则 E ( X |Y = y)表示足长为y 的中国成年人的平均身高。我国公安部门研究得到E ( X |Y = y) =6.876y，如测得某案犯足长y=25.3(cm)，则可推算该案犯的身高约为6.876 ×25.3 =174(cm)。

可知，条件数学期望 E ( X | Y )是一个随机变量，当Y = y时取值为 E ( X |Y = y)。重期望公式为 E ( X)=E[ E ( X | Y)]，其含义就是总体平均等于分组加权平均。