基于Petri网的制造系统中的应用方法

1.基本Petri网的定义

定义3.1 基本Petri网是一个四元组，[61]

其中：

P={P1，P2，…，Pn）是库所的有限集合，n＞0为库所的个数；

T={t1，t2，…，tm）是变迁的有限集合，m＞0为变迁的个数；且满足：P∩T=Φ且P∪T≠Φ；

I：P×T→N是输入函数，定义了从P到T的有向弧的重复数或权的集合，这里N={0，1，…}为非负整数集；

O：T×P→N是输出函数，定义了从T到P的有向弧的重复数或权的集合。

点火规则：

一变迁t∈T在标识m下使能，当且仅当：∀p∈t∶m（p）≥I（p，t）。

在标识m下使能的变迁t的激发将产生新标识m′：

2.基本Petri网性能

从实际应用的角度，基本Petri网的重要特性如下[53，61]：

●可达性

定义3.2 若从初始标识m0开始激发一个变迁序列产生标识mr，则称mr是从m0可达（Reachable）的。若从m0开始只要激发一个变迁即可产生mr，则称mr是从m0立即可达（Immediately reachable）。所有从m0可达的标识的集合称为可达标识集或可达集，记为R（m0）。

可达性可描述制造系统如下特性：系统按一定的轨迹运行，是否能够实现一定的状态或避免不期望的状态不出现。

●有界性与安全性

定义3.3 给定PN=（P，T，I，O）以及其可达集R（m0），对于库所p∈P，若∀m∈R（m0）：m（p）：≤k，则称p是k有界的，此处k是正整数；若Petri网的所有库所都是k有界的，则Petri网是k有界的。

通常库所用于表示制造系统中的工件、工装、运输托盘以及小车等，还可以表示可以利用的资源，有界性可反映系统是否溢出；如库所用于描述某一个操作，则该库所的安全性能够确保不会重复启动某一正在进行的操作。

●活性

定义3.4 对于一变迁t∈T，在任一标识m∈R下，若存在某一变迁序列sr，该变迁序列的激发使得此变迁t使能，则称该变迁是活的（live）。若一个Petri网的所有变迁都是活的，则该Petri网是活的。

死锁（Deadlock）从反面描述Petri网的活性。出现死锁的原因是不合理的资源分配策略或某些或全部资源的耗尽。在制造系统中许多公用的资源是共享的，如果分配不当则导致死锁。(www.xing528.com)

●可逆性

定义3.5 一个Petri网是可逆的，若对于每一标识m∈R（m0），m0∈R（m）。标识mr∈R（m0）称为主宿状态，若∀m∈R（m0），mr是从m可达的。

可逆性意味着模型可以自身初始化。这对于自动从差错中恢复过来极为重要。比如，制造系统中利用机器人自动装配，零件间可能无法配合而出现差错，则希望不要人为干预的情况，就能够从这一差错中恢复。如果一个Petri网是可逆网，则意味着自动的从差错中复原是可能的。

●守衡性

定义3.6 对于一个PN=（P，N，I，O），若存在一矢量w=（w1，w2，…，wn）T且wi＞0，i=1，2，…，n，使得对于所有m∈R（m0）：wTm=wTm0，则称该Petri网对于矢量w守衡。

在制造系统中，所占用资源的数量一般都受到经济及其他因素的限制。若托肯表示这些资源，而系统所包含的这些资源的数量是固定的，则尽管系统Petri网所处的标识变化，但其包含的托肯数维持不变。实际制造系统中，这种情况很难做到，比如：一损坏的刀具可以从某柔性制造单元中除去，因此可利用的刀具的数目将减1。

3.基本Petri网性能分析方法

通过Petri网对制造系统性能分析一般来说可分为两类：基于可达图（Reachability graph）或可达树（Reachability tree）与基于不变量（Invariant）。前者是较为常用的一种图形分析方法，后者为数学分析方法。

●可达图

从初始标识m0开始，能够到达Petri网所有可能的标识，这些标识通过变迁而关联。将所有标识以及产生这些标识的变迁用一个图形表示，图中的节点为标识，节点之间用表示变迁的带箭头的线或弧连接，带箭头的线起端所连接的标识通过由该线所代表的变迁激发，产生该线末端所连接的标识，这样的图称为可达图。

图3-1（a）所示的Petri网，其初始标识为m0=（2，0），图3-1（b）所示是相应的可达图。由M0出发，只有变迁t1可被激发，t1激发后，得到M1=（1，1）。在M1的情况下，两个变迁均使能。若t1激发得M2=（0，2）；若t2激发，则可得M3=（0，1）。图3-1（b）给出全部可达标识及其间所有的激发变迁。从该可达图可以看出，它是有界、死锁的、不可逆的。

图3-1　模型可达图

●状态迁移方程和不变量的分析

基于不变量的分析属于矩阵线性代数，该方法的优势是依据简单的线性代数方法，就能正规地确定Petri网性能。不变量分析分为P不变量和T不变量分析。本论文未采用该方法进行讨论，故不详细介绍，请见参考文献[53][61]。

4.基于基本Petri网的制造系统性能分析

利用基本Petri网分析一个制造系统的性能可采用如下步骤：

（1）确定系统的所有资源；

（2）确定与各资源有关活动（操作）及其先后顺序并建立其子模型；

（3）根据各资源之间的关系，合并所有子模型，得到系统模型；

（4）利用定义3.2～3.6分析系统是否活性、有界和可逆。

利用基本Petri网可以分析制造系统的逻辑结构如活性、可达性、有界性等系统基本特性。