黄教授的黎曼猜想研究及成果数学家的故事

从上面的成果简介看来，不难使人同意，他的去世是台湾数学界的一大损失，更可惜的是他英年早逝且壮志未酬就离开了我们。在台湾以至世界的数学界不少人都知道黄教授在他最后十年的生涯中，致力于攻克世界公认三大难题仅剩的两大难题之一：黎曼猜想（或黎曼假设）。为了方便一些读者的阅读，我们先对该问题的产生做一简介。在研究数论有关质数的种种分布理论中，不可避免的是所谓的黎曼Zeta函数：

其中，p n是指在按大小渐增排列的无穷质数列（2，3，5，…）中第n个质数，z表一实数部（Re z）大于1的复变数。因任何一自然数n可表示成若干个质数的幂次乘积，又若定义

不难看出当z为实数且大于1时，可得

因而可推得级数

在Re z＞1时为绝对收敛，因而为在Re z＞1的半复平面上的解析函数。另一面为众所较熟悉的Gamma-函数Γ（z）其积分表示为对Re z＞0有

【注】Gamma函数为满足方程Γ（z＋1）＝zΓ（z），Re z＞0的解析函数，特别当z为正整数n时，Γ（n＋1）＝n！，即n阶乘。

现若在式（4）中以u＝nv代入则可得

由此可得

上式中，两个积分式子在Re z＞1时皆存在，且不难验证式（6）中第二个积分，在N趋向∞时趋向于0，于是我们可得ζ（z）的一个积分表示式如下：

（7）由此式可证得：由式（3）所定的函数ζ（z）可解析地延拓到整个复平面，以z＝1为极点具留数为1的亚纯函数；在整个复平面除了极点外，其他到处解析的函数或其可表为两个整函数的商式。(www.xing528.com)

于是在整个复平面上函数

为一整函数且明显具点z＝－2，－4，－6，…为其零点。由进一步的分析可证得当z＜0时，ζ（z）满足

由此，立即可推得上式在整个复平面上成立。若在式（8）中以1－z代z，便得最初由黎曼所导出的表式：

此式将函数ζ在点z与1－z的值联系起来，特别可见由ζ（z）在半平面Re z＞1／2的情况可推出其在半平面Re z＜1／2的情况。因对函数ζ（z）而言直线

就是所谓的临界线。总结以上，我们可得有关ζ（z）的零点信息如下：（1）函数ζ在半平面Re z＞1上无零点。（2）在半平面Re z＜0上，ζ（z）的零点当且仅当z＝－2，－4，－6，…。

而可得结论除了点－2，－4，－6，…外，其他ζ（z）的零点只可能在下面的带状式中：

0≤Re z≤1，　　（11）

点z＝－2，－4，－6，…称之ζ（z）的平凡零点，进一步的分析可推得ζ（z）在带状域（11）中有无穷多个零点。黎曼猜想就是猜测说：所在条状域（11）中的零点，必位于临界线（10）之上。