乌拉姆螺旋：数学家的故事，素数奇妙排列与抛物线关系

1963年秋，美国数学家乌拉姆在参加一个学术会议时，对冗长而缺乏新意的报告不感兴趣，他就在笔记本上划出了100个格子，正中间一格填上1，在它的左边放数字2，2的上面放3。然后逆时针转圈，每次加1。3的右边是4和5，5的下面是6和7。7的左边是8和9，这就完成了第一和第二个正方形。9的左边放上10，开始一个新的外正方形。在10的上面放11，以此类推，一圈又一圈，想多大就多大，排成螺旋状，以消磨时间。后人称之为乌拉姆螺旋。当他把其中的素数圈出来的时候，他想看看如此这般地做了以后会有什么奇特的现象。

突然，一个有趣的现象出现在眼前，素数似乎很喜欢挤在一些直线上。

他照这样把自然数排了6 500个，上述特征依然存在，于是他和他的同事斯坦因及韦尔斯一起，用当时具有最先进绘图功能的电子计算机Maninc II，把1 000万以内的自然数也这样排列并打印出来，用黑点代表质数，白点代表非质数，在到数字4万的螺旋图斜纹模式很清楚地看得出来：

结果仍然有素数排列成直线的现象！素数的这个有趣现象，被称为“乌拉姆现象”——显示出素数分布——数学上最大的未解之谜的一些特性。

在乌拉姆螺旋里，素数的古怪排列，也与作为抛物线的螺旋关系式相关，特别著名的一个表达式就是前面提到的x＾2＋x＋41，它产生40个连续素数。这些产生素数的二次多项式看起来好像九方形里的射线。

尽管这些线中的大部分不能穿过中心，但是通过适当的标示这些正方形，它们可以被形式为4n 2＋an＋b的抛物线所描述。在素数5，19，41，71这个序列里，抛物线系数a＝10，b＝5，n＝0，1，2，3，就可以产生素数。7，23，47，79这个序列，对应的系数是a＝4，b＝－1，n从1开始。

乌拉姆螺旋中的素数(www.xing528.com)

在这条线上不是每个数字都是素数，但是比例很高。根据素数理论，任何随机选择的整数是素数的概率大约是。在乌拉姆螺旋里的某些线上，素数的频率远远超过随机分布。乌拉姆和他的同事介绍，沿着某些对角线，10 000 000以内几乎一半的数字都是素数。为什么是这样，仍然是一个数学之谜。有部分解释，例如：某些穿过螺旋的对角线，可以没有素数包括在它上面，因为它们的二次表达式可以被分解为两条线性表达式。结果，必然在某处有素数聚集。

较小尺度的乌拉姆螺旋中的素数

较大尺度的乌拉姆螺旋中的素数分布

但是，它不能清楚地解释这种分布的连续性。

更大尺度的乌拉姆螺旋中的素数分布

1964年3月，马丁·加德纳在他出版的《趣味数学》一书中写了一篇关于乌拉姆螺旋的内容。螺旋图出现在《科学美国人》杂志1964年3月份的封面上。