道生一，一生二，二生三，三生万物—数学和数学家的故事

春秋战国时期的哲学家老子的《道德经》第四十二章写道：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”老子的“道”就是自然，这里老子说到“一”、“二”、“三”，并不是把一、二、三看作具体的事物和具体数量，乃是指“道”创生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程。康有为曾说“老子之学，只偷得半部《易经》”，认为《道德经》的思想起源来自《易经》，学过数学的人注意到这一点：

21＝2；22＝4；23＝8，道等于20＝1，我们看一下下图就可以明白：

老子思想的起源来自《易经》

意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）提出关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1）1是自然数；

2）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a′，a′也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等）；

3）对于每个自然数b、c，b＝c当且仅当b的后继数＝c的后继数；

4）1不是任何自然数的后继数；

5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n′也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理保证了数学归纳法的正确性。）

皮亚诺和他的书

德国发行纪念戴德金邮票

戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831-1916），德国数学家，高斯的学生。戴德金在1888年发表的论文《数是什么及应该是什么？》是第一个涉及映射的概念并讨论其基本理论的著作。皮亚诺比戴德金年轻27岁，他们同时建立了皮亚诺算术系统。

几年前，我去马来亚大学访问，在林忠强教授家过夜。他给我说，他的小外孙才五岁，却对数学有不寻常的认识。

这小孩有一天突然对他说：“外公，1，2，3，4，5，6，…，没有最大的数。”

“为什么呢？”

“你想，你给我一个数，我只加1，它比前面的数大，我每次都能找到比前面大的数，所以没有最大的数。”

我说这小孩真是聪明，能了解数的后继性质，以及递推证明，应该设法好好培养。

自然数列1，2，3，4，5，…有许多神奇绝妙的性质。今天我先介绍一些，其中有一些还可以深入探索。让我们从排成直线形的自然数列说起：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…。

在200多年前，有个老师要他班上的小学生计算：从1加2，加3，加4……加到100的和。

一个8岁的小孩，他假定这和是S 100，

S 100＝1＋2＋3＋…＋99＋100

他发现这和是和100加99，加98…一直加到1的和一样，即

S 100＝100＋99＋98＋…＋2＋1

如果把这两个和相加，可以得到

2S 100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（99＋2）＋（100＋1）＝101×100

因此，S 100＝（101×100）÷2＝5 050。

这个孩子叫高斯（1777—1855），他发现了自然数n项和的巧妙公式：

现在我们探索自然数的其他奇特性质。我们在自然数列从头到尾第二个数画圈，然后想象把它们去掉。在没有圈的数下面写上此数与前面未圈数的和，下面是1—19的例子：

你会发现这些数是自然数的平方：n 2。

现在我们如果把每3个数中最后一个圈起来，然后在这些剩下数列下填它们前面数字的和：

1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108

然后圈掉每第2项的数字，在留下的数字下面填它前面数字的和

会发现，13＝3，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216。这是自然数列的立方：n 3。

这是不是很奇妙？

这个性质在每4个数圈掉是否有类似的结果？

好，我们动手检验：

然后在数字底下填前面数字的和

现在我们圈掉第2项，在剩下的数列底下填前面数字的和：

我们看，1＝14，16＝24，81＝34，256＝44，625＝54。

这是自然数的4次方：n 4。

事实上我们发现圈掉的数：

n＋n，n＋n＋n，n＋n＋n＋n，…(www.xing528.com)

最后到n×n，n×n×n，n×n×n×n，…

这是不是真的奇妙？这个美妙的结果是德国数学家阿费德·莫斯勒在1951年发现的。

莫斯勒发现如果把自然数列的三角数

1＋2＋…＋n＝圈掉，会得到什么结果呢？

我们看小于20的三角数是：1，3，6，10，15。

现在

我们把每个块的最后一个数圈起来：

然后在剩下的数列底下填前面数的和：

然后把每个块的最后数圈起来：

然后在剩下的数列底下填前面数的和：

再把每个块的最后数圈起来，

我们看到1，2，6，24，120都是n的阶乘数：

n×（n－1）×（n－2）×（n－3）×…×3×2×1＝n！

我们在这里写出几个较小的n阶乘：

1！＝1

2！＝2

3！＝6

4！＝24

5！＝120

莫斯勒试试去掉所有的平方数n 2，看会有什么结果？

然后圈掉每个块的最后数，

圈掉每个块的最后数，

圈掉每个块的最后数，

圈掉每个块的最后数，

圈掉每个块的最后数，

莫斯勒看到平方数可以这样写：

1

1 ＋ 2 ＋ 1

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1

．．．．．．．．．．．．．

而最后圈的数是

1

1 × 2 × 1

1 × 2 × 3 × 2 × 1

1 × 2 × 3 × 4 × 3 × 2 × 1

．．．．．．．．．．．．．

他发现如果最初圈掉的数是

a，2a＋b，3a＋2b＋c，4a＋3b＋2c＋d，…

则最后圈掉的数是

a，2a×b，3a×2b×c，4a×3b×2c×d，…