数学家和应用数学的研究成果

二战后的自动化运动改变了庞特里亚金的研究方向。1950年代初，苏联政府号召科学家理论联系实际，数学所领导建议他转向应用数学研究。他自己也感到“拓扑学虽美，属阳春白雪，太抽象，实用少，仅少数人能欣赏”。

在纯数学领域取得了令人羡慕的成就之后，庞特里亚金既有喜悦又有忧虑。他在自传里曾写道：“我所作的一切究竟为了什么？……什么时候可以把维数同调理论用于技术物理学，或一般地用于我们周围物质世界中？”同事们之间的舆论更加深了他的忧虑。1932年的一天，一位素不相识的年轻物理学家安德罗诺夫突然来到庞特里亚金的住所，说要和他谈谈研究应用数学的问题。从此开始了他们之间20年的友谊。庞特里亚金在回忆往事时说：“我认为他最突出的一点，就是对于国家所发生的一切具有高度的责任感。与他的结识及对我的影响使我放弃了自己一直从事的抽象问题的研究工作，而致力于数学的应用。”由于安德罗诺夫的影响，庞特里亚金在第二次世界大战之前做过微分方程方面的工作，曾隐约地提出后来的“结构稳定”概念。也曾因计算哈密顿系统的动力学体系，钻研过庞加莱（J．H．Poincaré）和莫尔斯（H．M．Morse）的有关论著，但没有什么重大成果。研究方向上的真正改变，是1952年之后的事情。这一方面是他自己的思想早已倾向应用数学，另一方面是领导和朋友的建议，其中有数学研究所副所长凯尔迪什的劝告，而他的学生和合作伙伴米申科的支持与帮助则起了关键的作用。

1952年秋天，庞特里亚金和他的学生们开设了振动与控制理论讨论班，开始研究安德罗诺夫的振动理论著作，从而知道了什么是电容、自感、感抗、电子管振荡器等。讨论班上还有一条严格的制度：每次学术报告都必须从讲解某技术问题入手，再用微分方程加以描述。刚开始时这种做法并不为一些老数学家所理解，亚历山大洛夫认为这是对拓扑学的背叛，柯尔莫戈洛夫也对米申科的电子振荡器的研究评价不高。但他们仍然坚持下去，最初的研究工作涉及带小参数的高阶微分方程，庞特里亚金和米申科一起取得了系统的成果，而这一次柯尔莫戈洛夫则给予了高度评价。

庞特里亚金在应用数学方面的最大贡献是研究微分对策，发展了最优控制理论。特别是1956年提出的“极大性原理”，取得极高的学术声誉。在极大性原理的基础上，庞特里亚金和他的合作者发展了一系列方法，处理了许多实际问题。更重要的是这一原理有很多推广，对偏微分方程和随机过程理论的发展也有重大价值。苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所拓扑组，在庞特里亚金领导下的关于振动理论与自动调整理论的数学问题讨论班于1952年秋天开始工作。

《最佳过程的数学理论》

自1956年，庞特里亚金领导的小组陆续发表关于最优控制的最新研究成果，今称之为极大值原理，找到了在最一般情况下最优控制的必要和部分充分条件，与经典最小作用原理相洽，构建了从18—19世纪欧拉-拉格朗日-哈密顿的解析力学到新生控制论之间的桥梁，是控制论的三大基石之一，对正在费尽心机解决各种自动控制问题的工程界不啻振聋发聩，一大批工程技术问题变得豁然开朗，迎刃而解。这居然是一位盲人数学家领导获得的成就，就更加令人敬佩。(www.xing528.com)

此前，外行人很少知道他在拓扑学方面的成就。极大值原理公布后，崇敬他的粉丝遍布全球。航天科学界最早觉察到极大值原理对宇航的重要，首选他为国际宇航科学院荣誉院士（1966年）。正在航天领域雄心勃勃领先世界的苏联政府授予他列宁勋章（1967年）和劳动英雄称号（1969年）。在数学界也名望大振，旋即被选为国际数学联合会副主席（1970年）。通过理论联系实际，庞特里亚金达到了一生的荣耀巅峰。1960年被邀为国际自动控制联合大会（IFAC）首席报告人。邀他讲学的信函如雪片飞来，10年访学欧美各国15次，成为世界数学明星大师，冷战时代的苏联火炬。他实现了自己的理念，通过非线性规划方法在弹道优化设计的应用工作证明了“数学和数学家们的存在价值”。

庞特里亚金和合作者们的专著《最佳过程的数学理论》于1961年出版，并很快就有了多国译本，包括中译本。他为莫斯科大学本科生所写的教材《常微分方程》（有中译本）也受到广泛欢迎，1961年由苏联的数学-物理文献出版社出版，并在1975年作为优秀教科书获得国家奖金。

庞特里亚金1958年当选苏联科学院院士，一生获国内外褒奖无数。

他在振荡理论、代数李群理论和微分几何等方面也做出贡献。他的著作被译成中文的还有《组合拓扑学基础》。

庞特里亚金和他的著作