庞特里亚金的拓扑学研究成果及配边理论

从1927年到1952年，庞特里亚金在拓扑学方面发表了60多篇论文。早期的一项工作是前已提到的维数论。当时人们猜想：拓扑积的维数是其各个因子的维数之和。庞特里亚金举出反例，运用同调维数论构造出两个二维的紧集，其拓扑积的维数是三。

与此相关的是推广亚历山大（J．W．Alexander）的拓扑对偶定理，建立起所谓庞特里亚金对偶（1934年）。它指出，n维球面流形M n中闭集A的以紧群X为系数的r维同调群H r（A，X），与其补集B＝M n＼A的以离散群Y为系数的n－r－1维同调群是对偶的。

1933年，庞特里亚金继续拓扑学和代数学的交叉课题，并力求得出尽善尽美的结果。他把紧拓扑空间的同调群构作成连续的交换紧拓扑群，并且使这个群是离散交换群的特征标，由此接近了交换拓扑群的特征标理论。他证明了现被称为庞特里亚金对偶定理的下述结果：局部紧可分交换群G及其特征标群C（G）互为对偶，即C≌C（G）。这一结果以及有关连续代数运算对象的系统论述，都收在专著《连续群》之中。此书于1938年出版，次年即被译成英文（1958年出版中译本）。庞特里亚金也因此获得1940年的国家奖金。

维数的同调理论研究的关键，是要找出按集合论定义的紧集维数的同伦等价性。为解决这一问题，必须把从n＋k维的球到n维球的一切映射加以同伦分类。1936年的初夏，庞特里亚金解出了k＝1，2的情形。他发现：当n＞3时，n＋1维球Sn＋1到n维球Sn映射的同伦类只有两类，而不同于先前霍普夫（H．Hopf）的结果：π3（S）＝Z，这是令人惊奇的结论。在解决映射的同伦分类时，庞特里亚金还发明了标架流形法，创立了光滑流形的特征类——庞特里亚金示性类，成为刻画流形的微分结构和复结构的不变量。标架流形法和这一示性类虽未能解决球面到球面的分类问题，反过来却用同伦论方法开辟了微分拓扑的新天地。许多数学家给示性类找到了应用。时至今日，庞特里亚金示性类和惠特尼（Whitney）示性类，特别是陈（省身）示性类等，都在刻画一般向量丛（纤维丛，李群，齐性空间）结构的不变量研究中具有特别重要的意义，可说已成为拓扑、分析、代数、几何的交会点及共同工具。

1934年，著名的法国数学家嘉当（E．Cartan）访问莫斯科时，提到求紧李群的贝蒂（Betti）数问题。庞特里亚金用莫尔斯理论获得了解决，并在1935年的莫斯科国际拓扑学会议上作了报告。

庞特里亚金的拓扑学研究成果多半汇集在《拓扑学基础》和《光滑流形及其在同伦论上的应用》两部专著中（都有中译本）。《拓扑学基础》经修改文字，重编章节后，由母亲打印和填写公式，于1938年在美国出版，一举成名，震动了科学界。三年后此书获苏联国家奖。二战后被视为经典译成各种文字出版。

托姆和庞特里亚金提出配边理论

在拓扑学中，他提出了配边理论的基本问题。这导致了1940年左右一个示性类理论的引入，现在被称为庞特里亚金类，它被设计为在一个流形是一个边界时为0。比庞特里亚金类更重要的理论是庞特里亚金-托姆（RenéThom）配边理论。庞特里亚金在1950年最早介绍了与工作有关的稳定同伦群的领域中同伦论的中心课题。现在常用的托姆空间（例如一个向量丛的所谓托姆空间），最早的发现者是庞特里亚金。(www.xing528.com)

一个结构稳定系统

1937年，庞特里亚金和安德罗诺夫（A．Andronov）研究了平面圆盘Bz上结构稳定的常微分系统S，S在边界上向量场一致指向Bz的内部或外部。他们指出：S在B′上结构稳定的充分必要条件是：

1．S仅有有限个奇点和周期轨道，它们是双曲的。

2．S不存在从鞍点到鞍点的连结轨道。

关于庞特里亚金理论的著作

如上图所示就是B上一个结构稳定系统，其中A，B为稳定的焦点（即渊点），C为鞍点，它们组成系统的非游荡集。庞特里亚金-安德罗诺夫定理是最早得到的有关结构稳定性的结果。在这个定理基础上，佩克索托（M．Peixoto）于1962年得到二维流形上结构稳定的向量场的特征。从此动力系统结构稳定性理论得到了迅速的发展。

此外，庞特里亚金还给出可数无扭阿贝尔群为自由阿贝尔群的一种常用判定法（Pontryagin's criterion）。该判定法断言：可数无扭阿贝尔群G是自由阿贝尔群，当且仅当G的每一秩为有限的子群是自由阿贝尔群。