数学家故事：拉丁方阵构建生日幻方

我们要用拉丁方阵协助构建生日广义幻方，先看下面的拉丁方阵：

（1）每列的和是a＋b＋c＋d；

（2）每行的和是a＋b＋c＋d；

（3）两条对角线的和都是a＋b＋c＋d；

（4）4×4矩阵的四个角和是a＋b＋c＋d；

（5）第一行和第四行的中间两项和与第一列和第四列的中间两项和是a＋b＋c＋d；

（6）两个斜对角的和是a＋b＋c＋d；

（7）中间2×2矩阵的和是a＋b＋c＋d；

（8）图案划分四个2×2矩阵，每个的和都等于a＋b＋c＋d；

（9）第二行和第三行的两个矩阵2×2方阵的和是一样的；

（10）它有4个3×3方阵，四角和是a＋b＋c＋d。(www.xing528.com)

现在有第2行、第3行及第4行的每项设法加减数字，得到结果能保持（1）到（10）的性质。

我们可以用下面的方法调整：

这样我们就可以令a＝22，b＝12，c＝18，d＝87得到拉马努金的生日幻方了。

读者可能会问这是否是唯一的构建生日幻方的方法？答案是否定的。我这里给出另外两个不同的调整方法也可以得到生日广义幻方。

［方法二］

［方法三］

对应第二个2×2方阵的数字和是2b＋2c而不是a＋b＋c＋d。

我们问是否能找到4×4拉丁方阵得到所有2×2子方阵的数字和是a＋b＋c＋d？如果有的话，那么我们的生日广义幻方更完美了。很可惜下图所示行不通：

读者用这里的方法容易找出和以上不同的构造方法。