镶边幻方：历史、构造和例子

【定义】镶边幻方（border magic square）是指幻方去掉外圈仍然是一个幻方，再去掉外圈仍然是一个幻方，一直到3阶或4阶幻方为止。

【例22】下面分别是5阶和6阶的镶边幻方。

【例23】983年，5阶和6阶幻方出现在巴格达的《精诚兄弟会典》（Rasa'il Ikhwan al-Safa）中，该著是10世纪时巴士拉的一个阿拉伯宗教团体精诚兄弟会中的5名学者合编的一部百科全书。共分52册：

●1—13册：算术、几何、天文、地理、音乐、释经、逻辑；

●14—30册：物理、气象、动物和植物、人体、灵魂、语文学；

●31—40册：生命起源、感觉、智慧、名人、爱情、因果；

●41—52册：宗教教义、神谕、精神、信仰、巫术、占星术。

在百科全书中有一个世界最早的镶边幻方。

《精诚兄弟会典》里的7阶镶边幻方

阿拉伯人10世纪还有构造奇偶数分居的11阶镶边幻方。

17世纪法国弗兰尼克尔·德贝西（B．Frénicle de Bessy）是业余数学家，他与他那个时代最重要的数学家——笛卡儿、费马、惠更斯与梅森保持通信。在1693年他构造出880个4阶幻方，而且在他的书《幻方》中介绍了用镶边法来构造任意阶幻方，即为了构造任意n阶幻方，先构造n－2阶幻方，在其中每个方格的数上加一个整数，然后在它四周镶上一条边，填入余下来的数字，使之成为幻方。这样，由已知的、比较容易构成的3阶幻方，可顺次构成5阶、7阶、9阶……幻方；从4阶幻方出发，可顺次构成6阶、8阶、10阶……幻方。在1666年，作为法国科学院创始成员，弗兰尼克尔被路易十四任命为院士，凡尔赛宫历史博物馆有他和路易十四及科学成员的一幅油画。

凡尔赛宫历史博物馆中弗兰尼克尔和法国国王路易十四的油画

【例24】西安东北方向胡家庙以北，东距浐河2公里，有一处斡耳垛遗址。这就是盛极一时的元代安西王府所在址。1957年，在安西王府遗址出土了一块标有6行6列阿拉伯数字的铁板，边长14厘米，厚1．5厘米，它是一个6阶镶边幻方。

安西王府铁板幻方，现藏陕西历史博物馆

忽必烈在1273年封皇子忙哥刺为安西王，当时安西王府建有两处，西安安西王府用于过冬（另一处在今宁夏境内）。1273年修建安西王府时，“六六幻方”当时是装在石函里埋入安西王府房基之下的，作为避邪、防灾的物品。这个幻方是我国数学上应用阿拉伯数字最早的实物资料。经夏鼐先生考证，根据数码形态，可以确定这一组幻方的制作年代为13世纪50年代到70年代，认为这一发现体现了阿拉伯纵横图传入对中国幻方研究的影响。另外，夏鼐认为，杨辉的四四纵横图（4阶幻方）很可能受到阿拉伯的影响，因为其在阿拉伯算书中比杨辉算书中早出现300年。

【例25】我们举一个构造5阶镶边幻方的例子：

第一步：5阶幻方有25个数，把1至25分成三组：

1，2，3，4，5，6，7，8；

9，10，11，12，13，14，15，16，17；

18，19，20，21，22，23，24，25。

第二步：9至17填成3阶幻方，给出的9个数形成一个等差数列，不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填13；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即10，12，14，16，而且对角两数的和相等，即10＋16＝12＋14；余下各数就不难填写了。

第三步：将其余的两组数配成互补的8对，（1，25）（2，24）（3，23）（4，24）（5，21）（6，20）（7，19）（8，18），并配对填入外圈，计算行（列）的和。

第四步：根据计算行（列）和与正确值65的正负差，耐心地调整。此例中第一行和为67，大了2，因此将4，2对换，并引出其他数的调整。反复调整直到行（列）和等于正确值65为止。

【例26】我们再举一个构造6阶镶边幻方的例子：

6阶幻方的幻和值＝111。

第一步：6阶幻方有36个数，把1至36个数分成三组：(www.xing528.com)

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；

11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26；

27，28，29，30，31，32，33，34，35，36。

第二步：将11至26填成4阶广义幻方，幻和值＝74，将其放于6阶幻方的中心。

第三步：将其余的两组数配成互补的10对，（1，36），（2，35），（3，34），（4，33），（5，32），（6，31），（7，30），（8，29），（9，28），（10，27）并配对填入外圈，计算行（列）的和。按对角对称和轴对称填入。

第四步：先选两组数（最好是相邻的数组，这样差值小好凑数）填于四个角格。角格填入2—35，3—34，先凑包含两个最大角格数的边行（或列），再根据两边列（或行）的差值，配数即可。耐心地调整。反复调整直到行（列）和等于正确值111为止。

不同的数字安排就可以得到不一样的镶边幻方。

【例27】比利时数学家卡奇克（M．Kraitchik）在他的书《趣味数学》（Mathematical Recreations）里提供一个7阶镶边素数广义幻方。

《趣味数学》里的镶边素数幻方

【例28】如下8阶素数镶边幻方是小约翰逊（A．W．Johnson Jr）于1982年发现，发表于美国《趣味数学杂志》（Journal of Recreational Mathematics）。

（1）这个方阵里有64个不相同的数，幻方中有8阶，6阶和4阶素数幻方。幻和则分别为19 000、14 250和9 500。

（2）6阶幻方幻和＝（8阶幻方幻和），4阶幻方幻和＝（8阶幻方幻和）。

【例29】1979年马达西发现一个令人惊奇的13阶镶边幻方，该幻方很神奇，有许多优美的性质：

（1）这个方阵里有169个不相同的数，幻方有11阶，9阶，7阶，5阶和3阶素数幻方。

（2）幻和则分别为70 681、59 807、48 933、38 059、27 185和16 311。这些幻和的差

70 681－59 807

＝59 807－48 933

＝48 933－38 059

＝38 059－27 185

＝27 185－16 311

＝10 874。

（3）这个共同差和3阶素数幻方的幻和与中心号码5 437的差也是10 874。

（4）中心数5 437正是常见差10 874的一半。

【例30】15阶镶边素数幻方里有225个不相同的数，每行、每列以及两条对角线的数字之和都相等，如果我们去掉周围一圈方格，会得到一个13阶幻方。不断去掉外圈，分别得到的11，9，7，5，3阶方阵都是幻方。这个幻方确实是相当优美的。