数学家首次引入素数广义幻方概念

如果可以用任意正整数放在n×n正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等，我们称为广义幻方。所谓素数广义幻方，是指n×n幻方中出现的数全部是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种广义幻方显然无法满足从1～n 2连续自然数的要求。这种非连续数幻方的概念首先是由著名科普大师杜登尼在1900年首先提出来的。

杜登尼是英国作家和数学家，精通于逻辑谜题和数学游戏。他在《数学中的娱乐活动》（Amusements in Mathematics）中回忆这段历史：“构建素数幻方首先由我于1900年7月22日和8月5日在杂志《每周调度》上讨论；但在最近三年或四年期间它受到了美国数学家极大的关注。他们要求形成这些幻方的最小可能的幻和。”

在那个年代1是被当作素数，他说：“这第一个1到23的9个素数总和为99，（被3整除）在理论上是一种合适的系列；但是，已被证明是最小可能的幻和是111，所需的系列如下：1，7，13，31，37，43，61，67，73。”

杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方，幻和为111。

杜登尼的数学游戏书

【例1】这个杜登尼3阶素数幻方的幻和等于111。

在20世纪初，1还被当作素数，所以这个幻方中包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方，幻和分别为177和120。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造非常困难。

【例2】这个3阶素数幻方的幻和等于177，是1918年哈里·萨勒斯（Harry Sales）构造的。

这幻方很神奇：左下角到右上角对角线是以12递增。左上角到右下角对角线是以42递减。

【例3】一个饶有趣味的3阶素数幻方，幻和等于3 117。(www.xing528.com)

当我们按数字顺序排列它们的值：199，409，619，829，1039，1249，1459，1669，1879，我们发现它是一个公差210的等差数列，这就更难能可贵了。

【例4】上海交通大学数学教授陈怀书在1920年构造的3阶素数广义幻方：

【例5】安德烈·葛让丁（AndréGérardin，1879-1953）是法国数学家，1916年在法国杂志《狮身人面像》（Oedipe）上构造素数幻方。例如，他给出了使用平方数构造素数幻方这种有趣的方法。

葛让丁和他创办的数学杂志

葛让丁用平方数构造素数广义幻方

【例6】4阶素数广义幻方：

【例7】马卡罗娃（Natalia Makarova）2012年11月终于构造出一个高达14阶的素数幻方，幻和是9 660。

【例8】美国数学家穆西（J．N．Muncey）在1913年构造的12阶素数（当时包括1）广义幻方的幻和等于4 514。要想编制素数幻方首先要找到可以利用的素数，然后把所选择的素数进行有规律的排列，之后就可以进行幻方的编制了。在那个年代没有计算机的帮助，穆西要做大量的测试构造难度很大的幻方，时间的花费非同小可，他能得出这个成果简直匪夷所思。