莫利定理：莫利角三分线定理及其美妙证明

莫利角三分线定理是由英国数学家莫利（Frank Morley，1860-1937）于1904年提出：任意三角形相邻内角靠近共同边的角三等分线的三个交点，可以组成一个正三角形。

莫利是英国几何学家，在代数方面亦有贡献。莫利出生于英格兰伍德布里奇的萨福克郡（Woodbridge，Suffolk），在剑桥大学获博士学位。1887年他搬到美国宾夕法尼亚州，直到1900年，他在约翰·霍普金斯大学（Johns Hopkins University）哈弗福德学院（Haverford College）任教，成为数学系主任。1919年至1920年，他是美国数学学会主席，1900年至1921年是《美国数学杂志》编辑。莫利逝世于马里兰州的巴尔的摩。

莫利喜欢设计数学谜题，曾出题要求证明：在边长为n格的正方形棋盘中，正方形数目是首n个平方数之和；矩形数目是首n个正立方数之和。

莫利

莫利是很强的象棋棋手，曾击败国际象棋世界冠军拉斯克（E．Laske，同时也是一位数学家）。他的儿子们亦十分出色：长子克里斯托弗（Christopher Morley）是小说家；次子菲利克斯（Felix Morley）得到普立策奖；幼子（1899—1985）与他同名，曾协助这位数学家父亲的工作近20年。

莫利定理以其美妙和证明困难著称。这一重大发现和惊人成果，立即引起各国数学家的关注，并多方探求其简明证法。1909年，纳援宁格尔（M．T．Naranieigar）提出了一个初等证明。到目前为止，已经有很多证明方法。以下提供的是三角方法。

莫利定理

［莫利定理］如图，将任意三角形ABC的每个角三等分，设E、D、F为这些角的三等分线的交点，则△EDF是正三角形。(www.xing528.com)

［证明］设三角形三个角∠A、∠B、∠C分别为3α、3β、3γ，

∵AE∶AC＝sinγ∶sin（α＋γ），AF∶AB＝sinβ∶sin（α＋β），AB∶AC＝sin 3γ∶sin 3β，

∴AE∶AF＝（AC sinγ／sin（α＋γ））∶（AB sinβ／sin（α＋β）），又有

sin 3γ∶sin 3β＝（sinγsin（60°＋γ）sin（60°－γ））∶（sinβ sin（60°＋β）sin（60°－β）），

∴AE∶AF＝sin（60°＋β）∶sin（60°＋γ），∴在△AEF中，∠AEF＝60°＋γ，

同理∠CED＝60°＋α，∴∠DEF＝60°，同理∠DFE＝60°，∴△DEF为正三角形。证毕。