用托勒密定理构造图形，引领您进入数学家的故事

【例4】若a、b、x、y是正实数，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1。求证：ax＋by≤1。

【证明】如图，作直径AB＝1的圆，在AB两边作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC＝b，BD＝x，AD＝y。

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的。

据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD＝AB·CD，

∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1。

巧变原式妙构图形，借助托勒密定理，还可证明许多结果。

【例5】已知a、b、c是△ABC的三对应边之长，且a 2＝b（b＋c），求证：∠A＝2∠B。

分析：将a 2＝b（b＋c）变形为a·a＝b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c。

【证明】如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连接BD、DC、DA。

∵AD＝BC，

∴．

∴∠ABD＝∠BAC，

又∵∠BDA＝∠ACB（对同弧），∴∠1＝∠2，(www.xing528.com)

于是，则BD＝AC＝b。

依托勒密定理，有BC·AD＝AB·CD＋BD·AC， ①

而已知a 2＝b（b＋c），即a·a＝b·c＋b 2， 　　②

比较①、②得CD＝b＝BD，，∠3＝∠1＝∠2，

∴∠BAC＝2∠ABC。

【例6】在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4，求证：。

分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC＝AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形。

如图，作△ABC的外接圆，作弦BD＝BC，连接AD、CD，

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，

有AC·BD＋BC·AD＝AB·CD，

易证AB＝AD，CD＝AC，∴AC·BC＋BC·AB＝AB·AC，

两端同除以AB·BC·AC，得。