平面几何中有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少精彩的结论。托勒密定理就是中学数学中熟知的定理之一，它是一个关于四边形的定理：“圆内接四边形中两组对边的积的和等于两对角线的积。”
托勒密（Claudius Ptolemy，约90—168）是古希腊亚历山大后期重要的数学家、天文学家和地理学家。他出生于上埃及，青年时到亚历山大城学习，并长期居住在那里，在皇家艺术宫里从事天文观测和科学研究。他的著作有《天文学大成》（Almagest，又称《数学汇编》、《大汇编》）13卷、《地理学指南》和《光学》等。《天文学大成》是一本数学和天文学书，书中总结了在托勒密之前的古代三角学知识，为三角学的进一步发展和应用奠定了基础。“托勒密定理”发现于公元二世纪，距今已有1 800多年，实出自喜帕恰斯（Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。
江晓原在《世界著名科学家传记》“托勒密评传”一文中将《天文学大成》称为《至大论》，他说：“关于托勒密的生平，至今所知甚少。最主要的资料来自他传世著作中的有关记载，其次是罗马帝国时代和拜占庭时代著作家们传述的一些说法——通常颇为可疑。
托勒密
在托勒密最重要的著作《至大论》中，记载着一些他本人所作的天文观测，这是确定他生活年代、工作地点的最可靠的资料。见于《至大论》书中的托勒密天文观测记录，最早的日期为公元127年3月26日，最晚的日期为141年2月2日。由此可知托勒密曾活动于罗马帝国皇帝哈德良（Hadrian，公元117-138年在位）和安东尼（Antoninus，公元138—161年在位）两帝时代。《至大论》是托勒密早年的作品，此后他还写了许多著作，由这些著作推断，托勒密在哈德良皇帝时代已很活跃，而且他一直活到马可·奥勒留（Marcus Aurlius，公元161-180年在位）皇帝时代。
由托勒密留下的观测记录来看，他的所有天文观测都是在埃及（当时在罗马帝国统治之下）的亚历山大城（Alexandria，今埃及亚历山大省的省会）所作。直到今天，仍未发现任何确切的证据，能表明托勒密曾在亚历山大城以外的地方生活过。”
从托勒密定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，它实质上是关于共圆性的基本性质。
【托勒密定理】圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）。
即：设四边形ABCD内接于圆，则有
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。
这个定理可推广如下：
【定理】在四边形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，(www.xing528.com)
并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
【证明】在四边形ABCD内取点E，使∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，
则△ABE和△ACD相似，
又∵
且∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC和△AED相似，
∴AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），
∴AB·CD＋AD·BC≥AC·BD。
且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当∠ADC＋∠ABC＝180°或A、B、C、D四点共圆时成立。
【复数证明】
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：｜a－b｜、｜c－d｜、｜a－d｜、｜b－c｜、｜a－c｜、｜b－d｜。
首先注意到复数恒等式：（a－b）（c－d）＋（a－d）（b－c）＝（a－c）（b－d），两边取模，运用三角不等式得｜（a－b）（cd）｜＋｜（a－d）（b－c）｜≥｜（a－c）（b－d）｜。等号成立的条件是（a－b）（c－d）与（a－d）（b－c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
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