小阻尼情形下的力学理论

这时，特征方程的根r1 和r2 为共轭复数

微分方程式（15-16）的通解为

式中：A和α为积分常数，由运动的初始条件决定。若设在初瞬时t=0，质点坐标和速度分别为x0 和v0，仿照无阻尼自由振动的振幅和初相位的求法，可求得

由式（15-17）可见，在小阻尼情形下，自由振动的振幅Ae-nt将随着时间的增加而衰减 [见图15-12 （c）]，故这种振动称为衰减振动。衰减振动时，物体虽然周期性通过静平衡位置而振动，但运动过程已不周期性重复。

如将物体从一个最大偏离位置到下一个同侧的最大偏离位置所需的时间称为周期，则衰减振动的周期为

从式（15-17）可得有阻尼自由振动的圆频率

令(www.xing528.com)

则式（15-20）和式（15-21）可化为

式中：ξ为阻尼比。阻尼比是振动系统中反映阻尼特性的重要参数，小阻尼情况下，ξ＜1。由式（15-23）可以得到，有阻尼自由振动周期Td 大于无阻尼时的周期T，固有频率ωd小于无阻尼时的固有频率ωn。即由于阻尼的存在，系统自由振动周期增大，频率减小。

阻尼的作用主要表现在使振幅衰减上。设相邻2次振动的振幅分别为Ai和Ai+1，则两个振幅的比为

这个比值称为衰减系数。可见，任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动的振幅按等比级数减少，很快趋近于零。

上述分析表明，在小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较小，但对自由振动的振幅影响较大。例如当阻尼比ξ=0．05时，其振动频率只下降了0．125%，而振幅比0．730∶1。每振动1次振幅减小27%，经过10个周期后，振幅只有原振幅的4．3%。

对式（15-24）两边取自然对数得

式中：δ为对数减幅率，它也可以说明振幅衰减的快慢程度。