计算固有频率：理论力学中的能量法

固有频率为振动系统的重要参数，求解系统的固有频率是研究一个振动问题的重要方面。由第二节的理论可以看出，只要列出系统的振动微分方程，就可以确定其固有频率。本节介绍计算固有频率的另一种方法——能量法。能量法是依据机械能守恒定律进行求解的，对于较复杂的振动系统固有频率计算，往往较为方便。

对图15-5所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，系统中只有弹性力和重力做功，则满足机械能守恒条件，即

若取静平衡位置为零势能点，则此时系统的机械能等于系统的动能，由于此时质量块具有最大运动速度，则动能亦取到最大值Ekmax，且有

当质量块到达偏离静平衡位置最大处时，此时质量块速度为零，动能为零，势能达到了最大值Epmax，且有

注意到kδst=P，则

可见，选取平衡位置为零势能位置时，计算系统的势能时就可不必考虑重力的影响，而此时必须由平衡位置处计算变形，来计算弹性力的势能。

在上述两个极限状态时，系统的机械能相等，即

将式（15-12）和式（15-13）代入，有

根据上述原理，可求其他类型机械振动系统的固有频率。计算步骤总结如下：

（1）设系统的振动方程形式。

(www.xing528.com)

图15-11

（2）计算系统的最大动能和最大势能。

（3）应用机械能守恒定律求解固有频率。

下面举例加以应用。

【例15-5】 在图15-11所示振动系统中，AB为不计质量的刚性杆。m1 和m2 为杆上固连的两小球的质量，k1 和k2 为两弹簧刚度系数，几何尺寸如图所示。试求系统微振动时的固有频率。

解：设此摆动系统自由振动时，AB杆的摆角φ的变化规律为

则系统振动时，AB杆最大角速度φmax=Aωn，系统的最大动能为

AB杆摆动的最大角位移为A，若取静平衡位置为零势能点，计算系统势能时可以不计重力，而由平衡位置计算弹簧变形。此时最大势能等于两个弹簧最大势能之和，则有

由机械能守恒定律有

解得固有频率