理论力学：自由振动微分方程与解

单自由度系统自由振动力学模型如图15-5所示。重物可视为m 的质点，弹簧原长为l0，刚度系数为k，在重力P=mg的作用下弹簧的静变形为δst。这一位置称为质点的静平衡位置。以静平衡位置O为坐标原点，建立x坐标轴如图15-5所示。

在平衡时重力P和弹性力F大小相等，则有

由此有

当重物运动到任意位置x处时，弹簧力F方向向上，大小为

其运动微分方程为

由式（15-1），有

图15-5

式 （15-2）表明，物体偏离平衡位置后，将受到一个大小与离开平衡位置的距离成正比，方向总是指向平衡位置的合力的作用，磁力称为恢复力。只有恢复力作用时物体的振动称为无阻尼自由振动。本例中重力对振动系统的运动方程没有影响，只改变了振动系统的静平衡位置，说明常力作用在振动系统不会改变系统的振动特性。

将式（15-2）两端除以质量m，并令(www.xing528.com)

移项后得

这就是无阻尼振动微分方程的标准形式，它是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其解的形式为

式中：r为特定常数，称为特征根。将上式代入式 （15-4）后，消去公因子ert，得到特征方程

根据数学理论，微分方程的通解为

式中：C1 和C2 为积分常数，由运动的初始条件确定。如果令C1=Asinα，C2=Acosα，则方程的通解也可改写为

图15-6

式（15-6）表明，无阻尼自由振动是物体在平衡位置附近的简谐振动，其运动图线如图15-6所示。