刚体作平面运动的简化力系及运动特性

设刚体具有质量对称平面且在平行于此平面内运动，则刚体的惯性力系可简化为在对称面内的平面力系。

取对称面为平面图形，如图13-5所示，由运动学知，平面图形的运动可分解为随基点的平动与绕基点的转动。取质心C为基点，设质心C的加速度为aC，刚体的转动角加速度为α。以质心C为简化中心，则惯性力系的主矢与主矩分别为

式中：JC 为刚体通过质心C轴的转动惯量。

图13-5

以上结果表明：对于有对称面的刚体，平行于这一平面作平面运动时，其惯性力系可简化为一个过质心C点的力和一个作用在其对称面内的力偶，这个力大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反；这个力偶的力偶矩大小等于对通过质心C点且垂直于对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。

【例13-1】 有一圆锥摆，如图13-6所示，重量P=9．8N的小球系于长l=30cm的绳上，绳的另一端则系在固定点O，并与铅直线成α=60°角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v及绳的张力T的大小。

解：以重物为研究的质点，在质点上除作用有重力P和绳拉力T外，加上法向惯性力，则其大小为

根据达朗伯原理，这三个力在形式上组成平衡力系，即

取上式在自然轴上的投影式有

图13-6

则

【例13-2】 桥式起重机的桥梁质量为m3=1000kg，吊车质量为5000kg，吊车吊一个质量为m1=2000kg的重物下放，如图13-7所示。吊车刹车时重物的加速度为a=0．5m/s2，求此时A、B处的约束反力（吊车所处的位置如图13-7所示）。

解：取桥梁、吊车、重物组成的系统为研究对象，其中只有重物为不平衡物体 （有加速度）。为了用达朗伯原理来进行计算，应先在重物上附加上它的惯性力，其方向与a相反，大小为

图13-7

然后将整个系统所受的主动力W1、W2、W3，约束反力NA、NB 和惯性力Fg 组成的力系看作平衡力系，用静力学平衡方程求解。(www.xing528.com)

则 NB= （W1+W2+W3+Fg）-NA=3500×9．81+1000-15100=20200N=2．02 （kN）

【例13-3】 如图13-8所示，电动机的定子重P，安装在水平的基础上；转子重Q，其质心为C，偏心距OC=e，运动开始时重心C在最低位置。今转子以匀角速度ω转动，求电机所受的约束反力。

解：以电机整体为研究对象。除受重力P和Q外，基础及地脚螺钉对电机作用的约束反力向点A简化为一力偶M 与一力N （图中Nx 和Ny 为其分力）。对质点系加惯性力，转子绕定轴O以角速度ω匀速转动，惯性力系简化为一个通过O点的力，大小为Fg=Qeω2/g。其方向与质心C的加速度aC 相反。

根据达朗伯原理，作用于质点系的主动力、约束反力与惯性力在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程，即

因转子匀速转动，β=ωt，代入上述方程组中得

解得

【例13-4】 重为G半径为r的均质圆球沿倾角是θ的斜面无初速地滚下，如图13-9所示。欲使球滚而不滑，摩擦系数f最小应等于多少？

根据达朗伯原理列出平衡方程

图13-9

联立以上三式求得

要使球滚而不滑，应有F≤fN，即

式中：f为静摩擦系数。则