刚体平面运动微分方程的解法

质点系动量矩定理仅适用于惯性参考系，对于非惯性参考系，一般不成立。但是，如果以质心为原点，建立一随质心平动的参考系，由上节知，虽然此参考系是非惯性系，但质点系在相对于质心的运动中，对质心的动量矩的变化率与外力系主矩的关系与在惯性坐标系中完全相同。

又由运动学知道，刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。以质心C为基点的平动动力学规律可由质心运动定理描述，相对质心的定轴转动可运用相对于质心的动量矩定理来描述，从而得到刚体平面运动微分方程。

如图11-12所示，在动力学中，常取质心C为基点，它的坐标为xC、yC，刚体上的任一线段CD与x轴夹角为φ，则刚体的位置由xC、yC 和φ确定，刚体的运动分解为随质心的平动和绕质心的转动两部分。

图11-12中Cx′y′为固连于质心C 的平动参考系，平面运动刚体相对于此动坐标系的运动是绕质心C的转动，则刚体对质心C的动量矩为LC=JCω。

图11-12

如果刚体上作用的外力系可以向质心所在平面简化为一个平面任意力系，则在该平面力系作用下，刚体随质心的平动部分可运用质心运动定理，相对质心的转动部分可运用相对于质心的动量矩定理来确定，从而得到刚体平面运动微分方程

在应用时需取其投影式

【例11-1】 如图11-13所示，重为mg的摆锤，系在长为l不可伸长的软绳上，试求单摆的运动规律。

解：取摆锤为研究的质点，它受的力有：重力mg；绳子的拉力T。

取通过O点垂直于图面的轴，并取φ角逆时针方向为正，则重力对O点之矩为负。应用质点对该轴动量矩定理得

图11-13

代入式（a）得

当单摆作微小摆动时，sinφ≈φ，因此上式为

解此微分方程，得单摆作微小摆动时的运动方程为

式中：φ0 为角振幅；α为初位相，由初始条件确定，其周期为

这种周期与初始条件无关的性质，称为等时性。

【例11-2】 图11-14所示机构中，水平杆AB固连于铅直转轴。杆AC和BD的一端各用铰链与AB杆相连，另一端各系重P的球C和D。开始时两球用绳相连，而杆AC和CD处于铅直位置，机构以角速度ω0绕z轴转动。在某瞬时绳被拉断，两球因而分离，经过一段时间又达到稳定运转，此时杆AC和BD各与铅直线成α角，如图11-14（b）所示。设杆重均略去不计，试求这时机构的角速度ω。

解：取杆和球一起组成的系统为研究对象，所受外力为球的重力和轴承反力。这些力对z轴之矩都等于零，所以系统对z轴的动量矩守恒。

开始时，系统的动量矩为

图11-14

最后稳定运转时，系统的动量矩为

系统对z轴的动量矩守恒

于是得

【例11-3】 如图11-15所示，手柄AB上施加转矩MO，并通过鼓轮D 来使物体C 移动。鼓轮可看成均质圆柱，半径为r，重量为P1，物体C的重量为P2，它与水平面间的动摩擦系数为f，手柄、转轴和绳索的质量以及轴承摩擦都可忽略不计，试求物体C的加速度。

解：选取整个系统为研究的质点系。质点系对通过z轴的动量矩为

图11-15

作用于质点系的外力除力偶MO，重力P1 和P2 外，还有E、F处的约束反力FEx和FFx、FFy，以及支承面对物体C的反力NC 和摩擦力F。这些力对z轴的动量矩为

应用动量矩定理有

【例11-4】 求复摆的运动规律。一个刚体，由于重力作用而自由地绕一水平轴转动，如图11-16所示，称为复摆 （或物理摆）。设摆的质量为m，质心C到转轴O 的距离为a，摆对轴的转动惯量为JO。

解：以复摆为研究的质点系。复摆受的外力有重力mg和轴承的约束反力。设φ角以逆时针方向为正，则重力对O点之矩为负。应用刚体定轴转动微分方程，则

图11-16

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解此微分方程得

式中：φ0 为角振幅；α为初位相，两者均由初始条件决定。复摆的周期为

【例11-5】 钟摆简化如图11-17所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d。求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。

图11-17

解：摆对于水平轴O的转动惯量

设JC 为圆盘对于中心C的转动惯量，则

于是得

【例11-6】 半径为r，重为P的均质圆轮沿水平直线滚动，如图11-18所示。设轮的惯性半径为ρ，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为f，问力偶矩M 必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？

解：以轮为研究对象，轮作平面运动，受力如图所示。则根据刚体平面运动微分方程可得

因aCy=0，故aCx=aC。

由圆轮滚而不滑的条件可得如下补充方程

联立式（a）、式 （b）、式 （c）、式 （d）求解得

图11-18

欲使圆轮只滚不滑，还要满足F≤fN，故得圆轮只滚不滑的条件为

图11-19

【例11-7】 如图11-19所示，重为G，半径为r的均质圆轮，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动（设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动）。求质心C的运动规律。

解：圆轮在曲面上作平面运动，受到外力有重力G，圆弧表面的法向反力NA 和摩擦力FA。

设φ角以逆时针为正，取切线轴的正向如图，则图示瞬时刚体平面运动微分方程在自然轴上的投影式为

由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度大小为

取s为质心的弧坐标，由图11-19知

此方程的解为

式中：s0 和θ为两个常数，由运动初始条件确定。

如t=0时，s=0，初速度为v0 于是

解得

最后得

这就是质心沿轨迹的运动方程。

由式（b）可求得圆轮在滚动时对地面的压力为N′A