理论力学：解决空间力系平衡问题

求解空间力系的平衡问题，其步骤与求解平面力系一样，一般仍是先确定研究对象，进行受力分析并作出受力图，选取适当的坐标系，列出平衡方程并求解未知量。在一般情况下，空间力系有六个独立的平衡方程，它可求解六个未知量，在求解中，投影和取矩轴可视解决问题的方便适当选取，这样就可以使每一平衡方程中包含的未知数最少，计算得以简化。另外，有时为了方便，也可减少平衡方程中的投影方程，而将平衡方程表示为四力矩形式以至六力矩形式。但这时投影轴与力矩轴之间要有一定的限制，这里不再详述。

【例3-4】 如图3-19 （a）所示为一简易起吊装置，杆AB的A端为球形铰链支座，另一端B装有滑轮，并用系在墙上的绳子CB 和DB 拉住，若已知γ=30°，β=45°，P=10kN，DBC在水平面上且DE=CE=BE=a，求杆AB和绳子CB、BD的内力。

图3-19

解：（1）以滑轮B为研究对象。

（2）受力分析：因杆AB不计自重，且只在两端受力，故AB为二力杆；作用在B上的力有：杆AB对滑轮的力FN，各绳子的拉力FT1，FT2，FT3和FT4，如图3-19 （b）所示，由于不计滑轮尺寸，则可将B处的力视为汇交力系。若取B点为坐标原点，建立图示坐标系。则平衡方程为

将FT3=FT4=10kN，γ=30°，β=45°代入，解上面三个方程得

杆AB的内力与FN 大小相等，方向相反，且为压力，绳子CB和BD 的内力也分别与FT1和FT2互为作用与反作用力。

【例3-5】 如图3-20所示三轮车自重P1=8kN，载荷P2=10kN，且P2 作用在B，C两轮连线上，求地面对三个轮子的约束反力。图中长度单位为m。

解：（1）取三轮车为研究对象。

（2）受力分析：三轮车在静止时，只受重力P1，载荷P2 和地面的约束反力FA，FB 和FC 作用。这些力构成一空间平行力系，若取坐标系Oxyz如图3-20所示，则利用空间平行力系平衡方程得

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图3-20

代入已知数据并联立求解得

【例3-6】 悬臂刚架如图3-21所示，其上作用着q=2kN/m的均布荷载，以及作用线分别平行于AB、CD的集中力P、Q。已知P=5kN，Q=4kN，求固定端O处的约束反力。

图3-21

解：（1）取悬臂刚架为研究对象。

（2）受力分析：刚架除受到P、Q和均布荷载q外，在O处还受约束反力作用，由于O处为固定端约束，此处反力的分布应为空间一般力系，若向O点简化便得一主矢量FO和一主矩MO。现过O点作一坐标系，如图3-21所示，则可将FO、MO 均用其在坐标轴方向的分量表示，即FOx、FOy、FOz和MOx、MOy、MOz，这六个量就是O处的反力。

根据空间一般力系的平衡方程得