空间力偶系的合成及方向余弦

设有作用在空间任意两相交平面Ⅰ和Ⅱ中的任意两力偶 （P，P′）和 （Q，Q′），如图3-5所示。

力偶矩的大小分别为M1 和M2，现对其进行合成。根据力偶的性质，在不改变力偶矩大小和转向的前提下，可以在其自身平面上调整力的大小和力作用点的位置，而不改变原力偶的作用效果。这样，可以将这两个力偶分别改为 （F1，F′1）和（F2，F′2），并使其分别作用在平面Ⅰ，Ⅱ交线的端点A，B上。此时若将A，B 两点的力分别进行合成，即FR=F1+F2，F′R=F′1+F′2，则显然有FR=F′R，并组成新一力偶，这个新力偶 （FR，F′R）就是力偶 （P，P′）和 （Q，Q′）的合力偶。

图3-5

可见，分别作用于刚体上相交平面Ⅰ和Ⅱ内的2个力偶，可以合成一个力偶，合力偶矩矢就等于两个分力偶矩矢的矢量和。

如果刚体上作用一空间力偶系，各力偶矩矢分别为M1，M2，…，Mn，那么连续应用上述方法将它们合成，其结果仍为一个合力偶，合力偶矩矢M 为各力偶矩矢的矢量和，即

若将式（3-5）在Oxyz坐标系下投影，便会得其解析表达式

即，合力偶矩矢在某轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一轴上投影的代数和。

对于正交坐标系，合力偶矩矢的大小和方向余弦为

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【例3-2】 长方体如图3-6所示，其上作用着三个力偶 （F1，F′1）、 （F2，F′2）、（F3，F′3），已知F1=F′1=15N，F2=F′2=20N，F3=F′3=20N，b=0．1m，求合力偶矩矢。

图3-6

解：由各力偶的作用可知，各力偶矩矢应沿其作用面的法线方位，这样（F1，F′1）的方位应与z轴一致， （F2，F′2）的作用面方位（即力偶矩矢的方位）应垂直于平面ACDE，与x轴正向的夹角为45°；（F3，F′3）的力偶矩矢的方位应垂直于平面ABDG，与x轴正向的夹角为α3 （tanα3=1/2）。

利用合力偶矩矢的投影式有

代入已知数据，得

方向余弦