力在直角坐标轴上的投影-《理论力学》成果

同平面力系一样，研究空间力系的简化、合成及平衡问题也需将力系中各力在空间坐标轴上进行投影。通过第二章的研究得知，力在某轴上的投影等于该力矢量与该轴单位矢量之数量积，现在可将其推广至空间力系中。

设有一力F作用于物体的O 点上，如图3-2 （a）所示，现过O 点作一空间坐标Oxyz，并以i、j、k分别表示Ox、Oy、Oz轴的单位矢量，若力F的方向角α、β、γ （力F与坐标轴Ox、Oy、Oz正向夹角）为已知，则根据力的投影定义，可得出该力在三个坐标轴上的投影分别为

式中：cosα、cosβ、cosγ为力F的方向余弦。

图3-2

当力F的方向角不能全部得知，但已知确定F方向的其他角度时，如图3-2 （b）所示，已知力F与z轴的夹角γ和F在Oxy面上的分力Fxy与Ox轴的夹角φ，则可先将力F分解为沿z轴和垂直于z轴两个分力Fz 和Fxy，然后再将此二分力分别向各坐标轴上投影得

在一些实际问题中，应用这个方法计算投影往往比较方便。这种投影法称为二次投影法。

从上面的分析不难看出，如果力F的大小和方向是已知的，则它在选定坐标系的三个轴上的投影是确定的（坐标系不定，投影则无法确定）；反过来，若已知力F在选定坐标系的三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，则力F的大小及方向也随之唯一确定，这说明力和它在选定坐标轴上的投影具有一一对应的关系。对于正交坐标系，在已知力在各轴上投影的情况下，其力的大小为

其方向余弦为

从前面的分析还可以看出，对于正交坐标系，力在坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz 和力沿坐标轴的分量的大小是相同的，在图3-2 （a）中，显然有(www.xing528.com)

由此可得力沿坐标轴的解析式

【例3-1】 在正方体的顶点A和B 处，分别作用力F1 和F2，如图3-3所示。试求此二力在x，y，z轴上的投影。

图3-3

解：设正立方体的边长为a，则

F1 在三个坐标轴上的投影为

F2 在3个坐标轴上的投影