理论力学|简单平面桁架内力计算

桁架是由若干根直杆两端铰接而组成的承载结构，它在受力后几何形状不变。

所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架，否则称为空间桁架。桁架中杆件的铰接点称为节点。

因为桁架具有结构重量轻、承载量大、制造成本低等优点，因此常用在工程结构中。例如屋顶的房架，如图2-29所示。桥梁也经常由桁架组成，如图2-30所示。还有油田的井架、起重机、电视塔钢架等。

图2-29

图2-30

本节只研究平面桁架中的静定桁架。如果从桁架中任意除去一根杆件，则桁架就会活动变形，这种桁架称为无余杆桁架。可以证明只有无余杆桁架才是静定桁架。如图2-31（a）所示的桁架就属于这种桁架。反之，如果除去某几根杆件仍不会使桁架活动变形，则这种桁架称为有余杆桁架，如图2-31 （b）所示。图2-31 （a）所示的无余杆桁架是以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件，这样构成的桁架又称为平面简单桁架。容易证明，平面简单桁架是静定的。

在计算桁架中各杆内力时，常引入以下三条假设，对实际桁架进行理想处理：

图2-31

（1）各杆均为直杆，且不计自重。

（2）各杆均为光滑铰链连接。

（3）所有外力都作用在节点上。

在这样简化之后，桁架中各杆都成为二力直杆，因此各杆只受轴向拉力或压力。计算时可假设各杆均受拉力，计算后由各内力数值的正负号表示内力是拉力还是压力（拉力为正，压力为负）。

因此桁架处于平衡状态，故可取其中任何部分作为研究对象。一般先取整体，求得整体的约束反力，然后再取各个部分，求杆的内力。

求桁架的内力一般采用节点法或截面法。

所谓节点法，是指每次取一个节点作为研究对象。由于每个节点上都作用着一个平面汇交力系，因此可以列出两个平衡方程并求得两个未知力。为避免解联立方程，应当每次取一个节点，其中只包含两根未知内力的杆，依次取下去，可以求得全部杆件的内力。

所谓截面法，就是假想用一个截面将桁架中若干根杆截开，将桁架截成两个部分，取其中一部分为研究对象，求得截面处各杆的内力。由于所取的研究对象上一般作用着平面任意力系，故有三个独立的平衡方程，可解出三个未知内力，这就是说所取的截面每次只能截开仅有三根未知内力的杆，方可求出它们的内力。

节点法适用于求桁架中所有杆件内力的情况，而截面法更适合于只求桁架中某几根杆的内力情形。下面通过例题介绍其应用。

【例2-10】 一桁架的结构尺寸如图2-32 （a）所示。已知载荷F1=400N，F2=1200N，求各杆内力，并指出每根杆受拉力还是压力。

图2-32

解：（1）取整体为研究对象，求约束反力。

（2）用节点法求各杆内力。先取节点A，受力图如图2-32 （b）所示。

代入FAx、FAy的数值后解出(www.xing528.com)

再取节点C，受力图如图2-32 （c）所示。

依次取节点E、F、B，受力图分别如图2-32 （d）～ （f）所示，可分别列出投影方程并解出

在解题时，各杆内力均按拉力假设，计算出结果后，正值表示拉力，负值表示压力。

在以上例题中都是用解析法计算，也可以采用几何法，即作出力三角形求解，请读者一试。

【例2-11】 平面桁架受力图2-33 （a）所示。已知FC=100kN， FE=FG=20kN，试求其中4、5、7、10各杆的内力。

解：（1）取整体为研究对象，求出约束反力。

（2）由节点法求解，依次取节点A、C、D、E，其受力图如图2-33 （b）～ （e）所示，通过列投影方程可解出

在这里，由于采用节点法，必须从只含两个未知内力的节点开始依次取各节点为研究对象，因而为求4、5、7、10号杆的内力，须先求出1、2、3、6杆内力做准备。这显然增加了计算工作量。

（3）用截面法求4、5、7、10号杆的内力。作截面Ⅰ Ⅰ将4、5、6杆截开，取左部分为研究对象，如图2-34所示。

图2-33

再作截面ⅡⅡ将4、5、7、10杆截开，取右部分为研究对象，如图2-35所示。

F7 可由∑Fy=0求出，但也可由节点E的受力情况直接看出，即

图2-34

图2-35

由此例可以看出：节点法与截面法各有特点，节点法解题思路简单，但计算工作量较大；截面法比较灵活，计算量相对节点法要少。有时这两种方法互相结合，对解题是有利的。