教师教研课题研究报告主要内容

课题研究报告应反映整个研究过程，既包括课题研究最初的选题缘由、理论基础、概念解释、文献综述等，也包括研究成果表述、研究存在的问题及讨论等。但研究报告的具体内容和结构可以根据课题研究的具体情况或各文件通知的相关要求进行调整。

1.课题研究背景及意义：结题报告的研究背景及意义与课题申请书相似，但在课题研究过程中，随着社会环境、教育政策、学校发展的变化，课题研究的背景也随之要求相应变化，这些可以在结题报告中呈现出来。

2.课题研究理论基础：研究的理论基础如在研究过程中有变动，可在结题报告中重新撰写，如没有变动，可与课题申请书一致。

3.概念界定：如在研究过程中有变动，可在结题报告中重新撰写，如没有变动，可与课题申请书一致。

4.国内外研究综述：相较于课题申请书的文献综述，研究报告的研究综述更为完整，围绕本研究主题进行更多的文献梳理，为研究报告夯实文献基础。

5.课题研究成果：此部分是研究报告撰写的核心部分，概括阐述课题研究的成果，包括成果的内容、形式、效果等方面。研究结果一般是客观论述，内容围绕“课题研究了什么？为什么研究？研究的结果如何？”进行阐述，必须撰写切实取得的研究成果。

6.问题及讨论：阐明在课题结题之际还未能解决或有待深入解决的问题，简要说明进一步的解决方案或推广计划等后续安排。

7.参考文献：按规范罗列在撰写研究报告后的主要参考文献。

以《小学第二学段“数与代数”教学中模型思想的渗透研究报告》为例，具体展示如何撰写结题报告。（因课题研究背景及意义、理论基础、概念界定、国内外研究综述在开题报告时已经详细呈现，故【操作导航6-2-1】有所删减。）

操作导航6-2-1

小学第二学段“数与代数”教学中模型思想的渗透研究报告

一、课题研究背景及意义（参见【操作导航2-1-11】及【操作导航2-1-14】）

二、课题研究理论基础（参见【操作导航2-1-13】）

三、概念界定（参见【操作导航2-1-12】）

四、国内外研究综述（参见【操作导航3-3-1】）

五、课题研究成果

小学“数与代数”教学中渗透模型思想的策略研究

小学“数与代数”版块属于统领性的知识内容，随着数学教学改革的不断深化与推进，在“数与代数”教学中对学生模型思想的培养有效落实了小学生的数学核心素养。《课程标准》明确提出“注重发展学生的模型思想，提高学生学习数学的兴趣与应用意识。”^[5]解读文件精神，巩固模型思想，在夯实“四基”课程教学目标的同时，不断提高教师对渗透模型思想重要性的认识，提升学生的数学思维能力。本研究针对调研中发现的主要问题，基于已有的实践经验，结合数学化等理论，通过加强教师自身的代数理论学习，从问题情境的创设、建模过程的开展、渗透时机的把控及变式训练的组织等方面，尝试提出小学“数与代数”教学中模型思想渗透策略的优化策略，以期系统、有序地培养学生的模型思想。

（一）教师加强代数理论学习，开展实践导向的专业模型教学

小学第二学段学生认知发展的阶段性、差异性特征赋予了小学数学教师在模型思想渗透过程中的特殊性。数据分显示教师的教龄和最终学历会明显影响教师在“数与代数”教学中渗透模型思想的主动意识，从侧面表明教师会因教学经验与知识水平的限制，缺乏对模型思想渗透教学的主动性。在此阶段，教师更要树立终身学习理念，积极参与数学教研交流活动，汲取教学经验，并及时加强学习相关代数理论知识，更新自身的数学学科知识与教育观念。同时，在熟悉小学数学教材中“数与代数”知识内容的基础上，还需深入理解《课程标准》对第二学段小学生渗透模型思想的教学要求，合理定位模型思想的教学目标，立足于模型思想的理念，开展实践导向的专业模型教学，并在教学中引领学生体验将现实问题抽象成数学模型的过程，培养学生的模型思想意识，提高学生数学思维品质的深刻性。

1.重视对代数相关知识的深度挖掘，合理定位模型教学目标

在课堂教学中，教材是联接教师与学生最直接的载体，它是教学大纲的具体化，教师通过教材将知识传授给学生，学生通过教材获得知识。教师只有把教材真正吃透，才能提髙自己的教学效率和教学质量，才能用最少的时间给学生以最大的收获。数学思想是数学的灵魂，是对数学知识本质的反映，模型思想往往隐含在数学概念、定理、法则中，学生能感知多少，全在于教师的挖掘程度。但在调查中发现有近51.23%的数学教师对《课程标准》中模型思想的相关内容不了解，不能准确说出模型思想的培养目标。因此，教师要对《课程标准》等可利用文本资源进行深度的“二次开发”，以教材的编写意图为依据，充分挖掘教材中所隐含的模型思想，准确定位相应的模型教学目标，使学生真正地领悟模型思想。而对于可利用文本资源的“二次开发”，部分教师可能有困难，经调查发现，近50%的家长对于模型知识不熟悉，不能利用其辅导学生解决数学问题，甚至很少检查学生此部分的作业情况，不能为教师提供学生的学习情况，且大部分学校对模型思想的渗透教学支持度不足，难以使教师更深入地学习相关理论知识。为此，教师要调动学校及家长的力量，有效整合教学资源，更深入地挖掘代数相关知识，共促学生模型思想的发展。

一方面，学校需鼓励教师积极参与相关内容的研训活动，组织教师合作备课，经过集体研讨，教师从中选取适合自己班级学生特点的教学设计，并适当加以调整，实现交流互动、优势互补，提高了学生的学习效率及模型思想的渗透教学质量。另一方面，学生的有效学习离不开家长的支持和参与，教师应加强与家长的联系，通过网络的形式，及时与家长讨论学生在校学习情况，并向家长了解学生在家中学习“数与代数”相关模型知识的情况，结合学校和家长所给的教学资源，有助于教师更有针对性地对文本资源“二次开发”，实现对模型教学目标的准确定位。

2.倡导参与式活动为主的协作建模学习，促进专业模型教学

模型教学是一种培养学生模型思想和建模能力的教学方式，它的本质是教师引导学生从问题情境出发，通过探究活动发现数学知识本质或关系的过程，符合小学生从具体事物到抽象符号的数学学习认知规律。区别于传统的知识讲授教学，模型教学是教师为学生精心设计的特殊活动，有着相对稳定的过程或模式，要求教师充分调动学生学习的积极性，组织和引导学生在动手实践与交流讨论中探究新知，真正理解与掌握数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。

《课程标准》中指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动和富有个性的过程，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”^[6]这就意味着在小学数学课堂中，教师要重视学生在学习活动中的主体地位，为学生的发展提供良好的环境与条件。小学数学协作建模学习是教师根据解决问题的实际需要分配学生的协作任务，让学生以小组的形式形成学习共同体，充分协商与对话，建立与调整既定的数学模型，形成全新的数学概念、公式等解决数学问题的一种学习方式。^[7]比如小学“数与代数”中的概念教学由于受课时的限制和概念理论体系的约束，教师的教学容易陷入纯理论讲解的误区。鉴于此，教师在“数与代数”模型教学中应该倡导以学生参与为主的协作建模学习活动，引导学生充分利用模型建立过程，积累活动经验，感悟模型思想。开展参与式活动为主的协作建模学习可以从以下几方面进行：第一，教师需创设能引发学生个性化学习的开放性问题情境，并提供给学生独立学习的任务支架（通常以任务单的形式为主）；第二，在任务支架的引导下，学生独立思考和发现，填写好数据后交到小组中进一步整理、加工，从而发现隐藏在数据信息背后的数学规律和模型方法。然后通过组间汇报，在互评中继续梳理和调整结论，从而形成数学模型。第三，引导学生应用模型解决数学问题。

（二）教师结合课内课外资源，呈现探究意义的问题情境素材

《课程标准》强调小学阶段的数学课堂应结合具体的问题情境，引导学生从具体的现实问题或现象中抽象出普适性的数学模型，并运用数学模型解决实际问题。^[8]小学数学问题情境一般是由三个部分组成：一是数学问题，反映的是思维对象和内容；二是背景材料，是生成数学问题的载体；三是学生的需要与兴趣。良好的问题情境需满足以下两个条件：其一，与学生的生活、数学知识密切相关。由于学生认知思维的形象性，小学“数与代数”教学中应充分利用学生的生活及数学知识经验，借助情境图、模型实物等多种教具呈现学生较为熟悉的现实问题素材内容，便于学生理解，且学生可以在生活中找到它们的原型。其二，有利于学生发现问题。问题情境不是随意的、无目的的生活片段，而是蕴藏着一定的结构。创设问题情境实际上是将数学模型“还原”的过程，根据访谈结果可知，小学“数与代数”中有许多知识内容可用构建数学模型的方式进行教学，在“数与代数”模型教学过程中，教师为学生创设的问题情境必须有利于激发学生的好奇心与探究意识，鼓励学生提出假设，最终形成有探究意义的问题。具体来说，教师应联系学生的生活经验和已有的数学认知水平，有效挖掘教材中的数学模型，为学生创设有利于模型思想渗透的问题情境，激发学生的建模兴趣。

1.链接学生熟悉的现实生活问题

与小学第一学段学生相比，第二学段学生的活动空间有了较大的扩展，对具有一定挑战性的知识内容表现出浓厚的兴趣。小学“数与代数”教材中的大部分内容虽然都融入了生活中的元素，但由于每个地区的文化背景、生活习惯等有所不同，教材中提供的生活情境不一定适合每位学生，教师应根据学生的年龄特点和生活体验，有效链接与学生生活密切相关的问题，如现实中学生比较关注的人文自然、科学技术、社会时事等具体问题。一方面是学生感兴趣的生活问题素材。小学生的好奇心较强，选择新鲜有趣的生活问题素材能有效激起学生学习的积极性；另一方面是学生接受的问题素材。小学生与成人之间的认知能力有着很大的差异，不同学段小学生的思维方式和认知水平略有区别，教师要把握不同阶段学生的认知水平，尽可能走进学生的现实生活，熟悉他们的生活及思维方式，筛选真正贴近学生生活经验的问题素材，并结合教学内容对生活情境素材进行数学化的加工。近34.42%的教师不够重视选取贴近学生生活的问题素材，未能将学生生活与“数与代数”模型知识有效融合，学生难以理解较为抽象的数学概念模型，为此，教师在课堂教学中更应从学生实际生活出发，创设有助于学生学习模型知识的问题情境，促进学生模型思想的形成与发展。

2.联结学生积累的“数学现实”

随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法便成为学生的“数学现实”，“数学现实”反映了学生已有的各种数学概念、运算方法、规律和相关数学知识结构。^[9]教师给学生呈现的问题情景素材除了需要考虑学生熟悉的现实生活外，理应确定不同学段学生需要达到的“数学现实”，并根据学生当前已有的“数学现实”，采取相应的方法予以温习，例如，教师教授“因式分解”这一课时，则可以将“整数的分解”作为情景素材导入问题，激活学生之前学过的相关数学知识。一方面有助于学生理解所学“数与代数”模型知识的内涵，更好地揭示相关数学模型知识间的内在联系；另一方面有利于学生整体理解“数与代数”方面知识，构建数学认知结构，为学习相关数学新知识奠定坚实的基础。

（三）教师丰富模型探究活动，引导学生新旧概念知识的串联

事实上，只有让学生亲自体验了数学探究活动的全过程，才能更好地渗透模型思想。在小学阶段，我们并不是要求学生去学习数学建模，而是让学生感知模型思想，体会建模过程。弗赖登塔尔的数学教育理论也强调：“学习数学模型相关知识正确的方法之一是‘学生再创造’，让学生通过数学活动去探究、寻找正确的方法。”^[10]学生感知模型思想最好的方式之一是通过自主、合作、探究的学习方式，帮助学生深刻理解数学模型知识（如数学概念）间的内在逻辑顺序，建立完整的数学认知结构，有利于学生体验数学化形成的过程。(www.xing528.com)

1.激励学生参与探究活动，营造良好的渗透教学氛围

《课程标准》中指出：“教师应成为学生学习活动的引导者，通过恰当的问题，引导学生积极思考，激发学生的好奇心，以尊重的态度鼓励学生积极参与探究活动，努力营造生动活泼的课堂氛围。”^[11]约有46.72%的教师一般不会设计建模探究活动，难以创设有利于模型思想渗透的课堂氛围环境。在小学“数与代数”教学中，教师要善于激励并引导学生自主探索、合作交流，以建构出每个学生都能理解的数学模型。首先，主要是对情境中的已知信息和遗留问题进行探索，教师需根据问题的难易度和学生的实际能力，制定适宜的探索方式，如个人探索、同桌或小组比赛的方式等。其次，教师应激励学生主动参与探究活动，及时关注学生的探究状况，对存在问题的同桌或小组加以引导。最后，鼓励学生给全班展示自己建立的数学模型，分享自己建模及求解模型的过程，其他学生可以指出存在的疑惑或错误点。这一过程营造了良好的课堂学习氛围，培养了学生探究合作、归纳概括及建模等能力。

2.激活学生已有的知识，沟通新旧知识间的关联点

在小学“数与代数”模型教学中，对于一些抽象的数学概念等知识，教师应有效利用学生已有的知识经验，促进学生学习的正迁移。《课程标准》中强调：“学生掌握数学知识，教师需注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，将每节课教学的知识置于整体知识体系中，帮学生理清相关概念知识间的区别与联系。”^[12]例如，在人教版教材《百分数》单元中，学生学习用百分数解决“求一个数比另一个数多（或少）几分之几”等类似问题时，已经具备解决“求一个数是另一个数的百分之几”的知识基础，教师在教学时可以借助数形结合，注重将新知与原有知识进行沟通联系，引导学生在已有知识基础上寻找数量关系，并建立数学模型，进而帮助学生沟通解决百分数及分数等相关问题，提升学生运用数学模型思想解决问题的能力。此外，教师还可通过鼓励学生提出问题假设，唤起对旧知的回忆，有效加强内在知识间的联系。

（四）教师准确把控渗透时机，促进学生形成良好的建模习惯

小学“数与代数”教学内容中有许多概念和公式都是独立存在的，而数学模型思想零零散散地蕴含在这些数学知识中。小学第二学段的数学教师在“数与代数”教学过程中渗透模型思想，要结合具体内容选择恰当的渗透时机，逐渐开拓学生的数学模型思维，使学生养成良好的建模习惯，激发学生对数学模型知识的学习兴趣。

1.有效捕捉教学环节中模型思想的渗透点

数学模型思想是将生活问题转化为数学问题的重要思想，教师在“数与代数”教学各个环节中适时地渗透模型思想，有利于培养学生的模型思维能力。小学数学教师应充分把握“数与代数”中的模型知识特点，在此基础之上精心预设各个教学环节，巧捉模型思想的渗透点，让学生感受模型思想的同时也深刻理解抽象的数学模型知识，全方位培养学生解决问题的能力。

在小学“数与代数”问题解决教学中，建模和用模是渗透模型思想的两个基本任务，也是解决问题的两大教学环节。调查发现，部分教师不能很好地在问题解决教学环节中捕捉模型思想的渗透点，往往认为其教学总结与评价环节不是本节课的重要部分，导致在此环节中模型思想渗透效果不佳。但总结与评价部分不仅是对学生运用模型思想解决数学问题的检验，也是对模型建立过程体验的考查，它是培养学生模型思想的重要环节之一。为了在其“总结环节”中有效渗透模型思想，有教师认为可以通过“反思建模，归纳步骤”的教学方式对教学过程进行梳理，让学生回顾本节课的知识、建模的过程及运用的思想方法等，旨在引导学生重温建模过程，体验建模乐趣，初步感知模型思想，帮助学生建立新的知识体系，提升归纳能力和养成反思的习惯。

2.关注学生学习模型知识的情感态度发展

《课程标准》指出：“教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机融合在数学教学过程中。”^[13]教师在设计小学“数与代数”模型教学方案进行教学活动时，对学生学习过程中情感态度发展的关注非常重要，应主动考虑“情感态度”的课程目标，将“情感态度”目标灵活地融入到模型思想的渗透教学中，如“初步养成良好的模型思维习惯；了解数学模型思想的价值”等方面。

由于学生的智力发展有所差异，情感态度也是略有不同，教师教学还需重视全体学生学习模型知识的情感态度情况。在常规的小学“数与代数”渗透教学中，教师进行集体教学的最大弱势在于优生“吃不饱”。从调查结果来看，42.86%的教师会根据学生课堂中的情感态度表现行为来判定其感知模型思想的程度，如在教学过程中教师可将学生是否具有积极的情感表现作为标准，尽可能准确地把握渗透模型思想的时机，具体表现为：当学生呈现出积极的情感态度，一方面教师用恰当的词语表扬他们在建模过程中的表现，如学生参与积极性的程度，课堂回答问题的次数，参与探究后的收获等多方面评价，然而学生的这些表象行为并不能切实反应他们真实的掌握理解程度；另一方面还可以鼓励他们帮助尚有困惑的学生，在可能的情况下，也可通过适当的个性化教学渗透模型思想，以满足优生的学习需求。

（五）教师重视组织变式训练，提升学生模型思维发展的水平

学生在习得新知后，通过运用新的知识解决问题，是学生掌握知识、形成技能、发展智力的基本途径，这一过程可以反馈出学生课堂中对知识的理解程度，也能帮助学生加深对知识的理解和掌握。教师设计的随堂练习题必须体现出教学重点、突破教学难点，应具有典型性、少而精，且安排完成的时间具有合理性等特点。习题的类型可以是多样化的方式，设置与例题相仿的基础题、例题基础上的变式题或结合其他知识的综合题等。这样学生能够把握合理的时间观念，以少胜多、减轻了学习负担，同时加深对知识的掌握和模型的运用。

1.启发学生解决实际问题，提高学生的数学化能力

模型思想作为一种数学思想，其形成需要经历用模型方法解决问题的过程，能否用模型方法解决问题是检验学生是否具有模型思想的重要标准。^[14]例如在“列方程解决问题”教学中，《课标解读》强调，方程是刻画现实世界的有效数学模型，“列方程解决问题”不仅是为了解题，更重要的是对学生模型思想的渗透。^[15]教师在此教学过程中不断地启发学生思考数学信息，引导学生快速找出数量关系，并列出方程，进行求解方程，使学生通过问题解决体会数学模型的形成过程，感悟模型思想的乐趣。结合弗赖登塔尔的数学化理论，对于问题解决教学中的习题训练过程，教师应不断启发并引导学生将生活问题数学化，学会用数量关系表示实际问题中的关系模型或变化规律，及时提炼题中蕴含的数量关系。此过程学生经历了数学模型的建立，且在教师指导下实现了“再创造”过程，学生数学化的能力得到相应的提高，有助于对学生模型思想的培养。

2.引导学生拓展数学模型，强化对模型思想的应用

除了进行相应的巩固练习，数学模型的渗透与培养还有一个途径，便是课后的生活拓展练习。这一环节是对课堂教学的补充和巩固，教师通过给学生布置相似类型的作业，既能帮助学生巩固知识运用，也能使教师从作业的完成情况得到反馈，如学生是否已掌握了模型的建立、哪些知识技能方面仍存在不足及后期是否需要进一步巩固加深对模型思想渗透的课堂教学等。此外，教师还可以引导学生利用数学模型来解决生活中的实际问题，增强学生解决实际问题的能力，使学生进一步体会到数学模型的价值与乐趣。教师利用一些生活拓展作业引导学生拓展数学模型，通过强化学生自身的建模意识，可以使学生在具体的问题解决过程中学会搜集资料，并运用数学模型分析问题，对自己的思维活动不断进行归纳概括，使自身的应用意识以及解决问题的能力得到相应提升。教师强化学生对模型思想的应用可以从以下几种作业形式加以落实。

（1）模型层次性作业。调查发现很多教师都会采用分层次布置作业的方式，关注学生的个体差异，设置阶梯型作业，分成必做题和选做题的方式，必做题具有模型的典型性特点，适宜了解每位学生掌握的现状；选做题的设置应从知识的综合性、思维的延展性和模型的应用性等角度加深一定难度，一般适用于优等生。

（2）模型变式性作业。如“数与代数”中概念类模型的教学，会涉及一些抽象的公式、法则等，教师可以适当地增加概念模型的变式题，例如选择题、趣味题等，利用这些题型加深对概念模型的辨析，让学生记住基本的数学概念模型的同时，增强对数学模型思想的感知。

（3）模型迁移性作业。“迁移”指一种学习对另一种学习的影响，分为“正迁移”和“负迁移”。在小学“数与代数”模型教学过程中，教师要有效利用起到积极促进作用的“正迁移”，如对于分数除法教学，教师应从学生的模型思维现实出发，抓住分数运算学习的前后联系和知识的生长点，设计有助于学生模型迁移的作业，引导学生将新旧知识充分联系起来，自主总结分数除法的计算方法，有利于学生纵向数学化的形成，更好地促进分数模型的顺利迁移。

六、问题及讨论

由于调查样本容量相对有限，对当前小学数学教师渗透模型思想策略现状的调查分析还不够深入，导致调查结果的使用局限于狭小的范围。此外，结合数学化等理论和模型思想渗透教学现状的调查结果，对于模型思想渗透效果的检验标准和多路径提升小学数学教师渗透模型思想水平的实践策略，将会在后期研究中进一步完善。

模型思想需要学生经历漫长的认识过程，教师在“数与代数”教学中依据小学生的年龄特征与知识积累，遵循逐级递进、螺旋上升的原则，达到良好的模型思想渗透效果是可取的。目前对模型思想渗透教学的研究已是百家争鸣，值得学习与借鉴。鉴于教学经验与知识水平的限制，我们将在今后的教育实践中，将通过长期深入一线数学教师的教学实践及总结经验，提出更具针对性和操作性的实施建议。

七、参考文献

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[2]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

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[4]刘振航.数学建模[M].北京：中国人民大学出版社，2004.

[5]张奠宙，过伯祥.数学方法论稿（第二版）[M].上海：上海教育出版社，2006.

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[7]许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012（1）.

[8]陈蕾.小学数学建模教学的三个关注点[J].上海教育科研，2013（8）.