空间变换下的混沌广义同步在图像加密中的应用

由5.2.1节的讨论可知，系统同步可以认为是两个系统在空间变换后，它们的轨道或空间结构随着时间的推移表现出的渐近一致性。

考虑空间X和空间Y中的两个动力系统

将公式（5.2－7）分解为

其中，x∈Rn，xk∈x是k时刻驱动系统的输出值，y∈Rm，yk∈y是k时刻响应系统的输出值。f、g和h可以是不同的函数，公式（5.2－7）是公式（5.2－6）的离散变换系统，它们之间存在映射与被映射的关系，称公式（5.2－6）为原系统，公式（5.2－7）为映射系统。

对于公式（5.2－7）构成的系统，若考虑无穷维的情况，设t＝－∞，则Y＝（y（t），y（t－1），…，y（1））可以表示为一个Hilbert空间L＝L（y（t），y（t－1），…，y（1））。它由（y（t），y（t－1），…，y（1））中的有限个变量的线性组合及其均方极限构造，即它为一个由（y（t），y（t－1），…，y（1））生成的封闭线性流形Ly。考虑定义5.2中的变换φ若为一个投影算子Ah，使得x（t）在Ly上的影射为Ah（x（t））＝（t）＋ε（t），其中ε（t）为一个零均值的白噪声，且为Ly中的一个正交序列，即有

proj（ε（t）｜（y（t），y（t－1），…，y（1））＝0

则在投影算子Ah下（t）－x（t）是渐近稳定的。由于两个系统的同步化的充分必要条件是响应系统是渐近稳定的，则可知在投影算子Ah下，系统（5.2－6）与系统（5.2－7）达到广义同步。

定义5.3　对于分别由动力系统（5.2－6）和（5.2－7）中任意有限个变量的线性组合及均方极限构成的封闭的线性流形Lx＝L（x（t），x（t－1），…x（1））和Ly＝L（y（t），y（t－1），…y（1）），设为x在Ly上的影射，记为

若存在一个投影算子Ah，使得x（t）在Ly上的影射有Ah（x（t））＝（t）＋ε（t），其中ε（t）为一个零均值的白噪声，且为Ly中的一个正交序列，即有

proj（ε（t）｜（y（t），y（t－1），…，y（1））＝0

若（t）－x（t）是渐近稳定的，则称在投影算子Ah变换下，系统（5.2－6）与系统（5.2－7）达到广义同步。

对于定义5.3，考虑Hilbert空间中的两个同步的动力系统

其中x（t）∈Rn，y（t）∈Rm，Β、Η、Γ、Φ为常数矩阵，w（t）∈Rr，v（t）∈Rm，u（t）∈Rp，则基于（y（t），y（t－1），…y（1））对x（j）的最小线性方差估计器为（j｜t）是一个最优估计，它的极小化性能指标为

对j＝t，称（j｜t）为Kalman滤波器。

Kalman滤波器利用了Hilbert空间中的影射理论求得对系统（5.2－9）的最优估计，且无论如何选择其初值（0｜0），当t→∞时，它对滤波器值（t｜t）的影响将消失，即（t｜t）与初值（0｜0）的选取无关，Kalman滤波器是渐进稳定的。由此可知，Kalman滤波器是一个符合定义5.3的投影算子Ah。

Kalman滤波动态系统主要由状态方程和量测方程组成，对于随机线性定常系统其离散形式为（不考虑控制作用）(www.xing528.com)

其中，

其中，

在公式（5.2－12）和公式（5.2－13）中，Xk是系统的n维状态向量，Zk是系统的m维观测序列，Wk是p维系统过程噪声序列，Vk是m维观测噪声序列。Φ是系统的n×n维状态转移矩阵，Г是n×p维噪声输入矩阵，H是m×n维观测矩阵。

最小线性方差估计有如下性质：

（1）是y的线性函数；

（2）无偏性：＝Ex；

（3）正交性：E［x－）yT］＝0；

（4）（x－）与y是不相关的随机变量；

（5）设x，y，z分别为n×1，m×1，p×1随机变量，对任意的A∈Rn×n，B∈Rn×p，有

proj（Ax＋Bz｜y）＝Aproj（x｜y）＋Bproj（z｜y）

（6）设x为n×1随机变量，y（1），…，y（k）为带零均值的互不相关的m×1随机变量，则

特别地，若Ex＝0，则有

由公式（5.2－12）和公式（5.2－13）以及最小线性方差估计的性质，可以推出广义Kalman滤波基本方程为

其中，是Xk的估计值，Kk为最优增益矩阵，Pk是最优滤波估计误差的协方差矩阵，Pk，k－1是一步最优预测估计误差的协方差矩阵，Qk和Rk分别为Wk和Vk的方差。