混沌同步在图像加密中的应用

空间变换是一种关系，这种关系使一个空间中的每一个元素对应到另一个（可能相同的）空间里的唯一或不唯一元素。这一关系由数学函数（如：平移、拉伸等仿射变换）或数学关系（依赖实际图像而不易用函数形式描述）来建立。常用的一些变换，如Fourier变换、Laplace变换、正交变换和小波变换等都是空间变换的一种。空间变换从另一个角度在不同的时间和空间中建立了一种科学规则，有利于复杂问题的解决。

5.2.1.1　函数的拓扑共轭

考虑空间X上的一个动力系统f：Rn→Rn

其中，x∈Rn，μ∈R，则f为一个抛物线映射。若抛物线映射（5.2－1）在（－1，1）上有如下形式

则当xn取（－1，1）上所有可能的值时，f将线段（－1，1）映射到整个区间（－1，1）上，即xn＋1充满整个线段（－1，1），称f为一个满映射，如图5.10（a）所示。满映射是一个经典的混沌映射。满映射（5.2－1）的绝大多数初值都导致非周期轨道，只有可数无穷多个初值导致不稳定的周期轨道，且这些点的测度为0。在线段中任取一点作初值，得到非周期轨道的概率为1，而得到周期轨道的概率为0。因此，满映射的典型轨道是非周期的。

图5.10　抛物线映射与人字映射

（a）抛物线映射　（b）人字映射

考虑空间中的另一个满射

它定义在线段［0，1］上，这种映射被称为人字映射或帐篷映射，如图5.10（b）所示。

对于映射（5.2－1），若设x′＝f（x），令

则得到

x′＝1－2cos2（πθ）＝－cos（2πθ）＝h（2θ）

用逆函数h－1作用于上式两端，可以得到

h－1。f。h（θ）＝h－1。h（2θ）

在同一θ区间上，函数h（2θ）的逆有2支，考虑反余弦函数的主值定义，有

h－1。h（θ）＝θ，h－1。h（2θ）＝T（θ）(www.xing528.com)

这里的T（θ）即为公式（5.2－3）中所定义的人字映射。于是有如下等价关系

由连续可逆函数h相关联的两个映射T（θ）和f（x），它们的函数都是连续的，具有相同的左半单调上升、右半单调下降的性质，故称T（θ）和f（x）是拓扑共轭的。拓扑共轭在实现拉伸、折叠等基本操作上的作用是相同的，它们的动力学行为只依赖于连续、上升、下降等拓扑性质，而与函数的具体形式无关。这些共同的性质称为拓扑普适性或结构普适性。

5.2.1.2　空间变换下系统的同胚与同步

在空间理论中，如果在两个流形U和V所在的拓扑空间之间存在一个双射σ（V→U），映射σ及其逆映射σ－1（U→V）皆为连续，此时σ被称为这两个拓扑空间的同胚映射。若存在从U到V的一个同胚映射σ，就称U与V同胚，记作VU。

在满映射（5.2－2）中，任取初值xi（－1，1），其所对应的轨道为，则由其全部轨道可以构成空间中的一个流形V′。同理，映射（5.2－3）的所有轨道也可以构成空间中的一个流形U′，且V′和U′存在于同一个数域F上。

对于由公式（5.2－4）所定义的连续可逆变换h（θ），可以将V′中的任一轨道映射到U′中，则h（θ）为一个从V′到U′的同胚映射，即在映射h（θ）下V′和U′同胚。

对于一个动力系统，人们感兴趣的是系统的结构、周期轨道的存在性以及轨道的渐近行为等。所谓两个系统同步，即一个系统的轨道将收敛于另一个系统轨道的同一值，并将一直继续保持相互间的步调一致。

定义5.1　对于两个动力系统Z1＝｛x1，f1｝和Z2＝｛x2，f2｝，若存在一个同胚θ：Z1→Z2，使得

f1（x1）＝θ－1。f2。θ（x1）　x1∈Z1

f2（x2）＝θ。f1。θ－1（x2）　x2∈Z2

成立，则称动力系统Z1和Z2是等价的或拓扑共轭的。

若一个系统由自治的驱动系统x（t）和响应系统y（t）两个动力系统组成，x（t）处于空间D中，y（t）处于空间R中。若两个空间的轨道间存在一个变换φ，能使得D空间中的吸引子轨道变换为R空间的轨道，则称动力系统x（t）和y（t）是同步化的。而且这个变换的性质与系统吸引子在吸引域中的初值无关。如果｛y（1），y（2），…，y（n）｝是响应系统的轨道，｛x（1），x（2），…，x（n）｝是驱动系统的轨道，则在整个吸引子上关联同步化运动轨道的变换是

y（t）＝φ（x（t））

显然，整个系统轨道处于空间D⊕R的子空间中。若变换φ为一个简单的恒等关系，则可以通过适当选取变量的标度，使得同步化轨道｛xi（t）｝和｛yi（t）｝在平面x－y上形成一条直线，即达到精确同步。若变换φ为一个复杂函数，则其空间投影不再是一条直线，而是一个较为复杂的几何图形，此时称这种混沌行为的同步化为广义同步。

定义5.2　若空间D和空间R中分别存在动力系统x（t）和y（t），若存在一个同胚变换φ：x→y，使得

x（t1）＝φ－1。y。φ（t1）　t1∈D

y（t2）＝φ。x。φ－1（t2）　t2∈R

成立，则称动力系统x（t）和y（t）在同胚变换φ下达到广义同步。