混沌同步模型构造及其应用：图像加密研究

5.1.2.1　模型的构造

对于一个给定的动力系统模型

将已知的驱动系统（5.1－8）分解成线性和非线性两部分，即得到

其中，A∈Rn×n，Φ（x）：Rn→Rn，Ax是f（x）的线性部分，Φ（x）为连续非线性函数，是f（x）的非线性部分，即f（x）由线性部分Ax和非线性部分Φ（x）组成。

基于由公式（5.1－10）表示的驱动系统，构造相应的响应系统，由此构成一个混沌系统模型

其中，Δ∈Rn×n是A的对易矩阵，即Δ必须满足AΔ＝ΔA。

在公式（5.1－11）表示的模型中，令h（x）＝Φ（x），则可以把Φ（x）作为响应系统的驱动信号，由驱动系统来控制响应系统。

应用模型（5.1－11）实现混沌系统的广义同步，要求线性部分的系数矩阵A所有的特征值都具有负实部。这就限制了该方法只能应用于线性部分稳定的混沌系统的广义同步，而不适合线性部分不稳定的混沌系统。由于工程中的混沌系统大多具有线性部分不稳定的特征，这就大大减小了模型（5.1－11）的应用范围。此外，应用此方法构造同步系统时，系统的同步时间由线性系数矩阵A的特征值确定。因此，一旦线性部分系数矩阵A确定，系统的同步速度将无法得到改善。

为了使构造的混沌广义同步系统具有更广泛的适用性，并且能改善系统的同步速度，在模型（5.1－11）的基础上，改变响应系统的构造，设定

其中，P∈Rn×n，Q∈Rn均为常数矩阵，且P为满秩矩阵。由此得到驱动系统和响应系统的混沌模型

其中，B∈Rn×w，K∈Rw×n为控制矩阵，且系数矩阵（A，B）满足可控性条件。矩阵（A，B）可控，即可控性矩阵的秩为n。(www.xing528.com)

定理5.1　对于模型（5.1－13）中的两个混沌系统，如果矩阵（A－BK）的所有特征值均具有负实部，即Re（λi（A－BK））＜0，i＝1，2，…，n，且满足＝0，则模型（5.1－13）中的驱动系统和响应系统y·达到广义同步。

证明：设e＝Py－x－Q为广义同步误差系统，由模型（5.1－13）可得

由于（A－BK）为时不变矩阵，若Re（λi（A－BK））＜0，i＝1，2，…，n，则同步误差系统渐近稳定，从而e→0，即，模型（5.1－13）的两个混沌系统达到广义同步。

定理5.1表明由模型（5.1－13）构成的两个混沌系统，即驱动系统和响应系统在满足公式（5.1－12）的条件下可达到广义同步。

5.1.2.2　模型的特性

在一定条件下，模型（5.1－13）所构成的驱动—响应系统的误差系统是渐进稳定的，即模型（5.1－13）实现混沌广义同步。此时，模型不但具有一般广义同步模型的性质，而且在改进一般广义同步模型不足的基础上具有自己独特的性质。

由现代控制理论可知，若模型（5.1－13）中系数矩阵（A，B）满足可控性条件，即系统的所有状态都是可控的，那么可以通过选择反馈增益矩阵B和K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能，即实现极点配置。由模型（5.1－13）可知，（A，B）满足可控性条件。因此，可通过选择恰当的增益矩阵B和K，实现矩阵（A－BK）极点的任意配置。在保证误差系统稳定的前提下实现，可以选择不同的极点来缩短系统同步时间，从而改善系统同步的性能。

在模型（5.1－13）构成的混沌系统中，由于加入了反馈项P－1BK（x－Q－Py），改变了混沌广义同步模型误差系统的线性部分，解决了模型的驱动系统线性部分不稳定问题。其次，P－1的引入，打破了P－1必须为A的对易矩阵的限制，无需满足AP－1＝P－1A的条件，P－1只需是满秩矩阵即可，扩大了响应系统非线性系数矩阵的选择范围。因此，可以根据实际需要，通过选择不同的系数矩阵P，构造出不同的广义同步模型，提高了混沌广义同步的适应性。

此外，模型（5.1－13）构成的混沌系统将混沌广义同步的问题转化成为线性同步误差系统的稳定性问题，大大简化了混沌广义同步模型的构造问题。对于混沌广义同步模型的线性误差系统，可以通过配置其极点位置，保证误差系统的渐进稳定性，实现两个混沌系统的广义同步，进而达到改善广义同步性能的目的。由于混沌模型的通用性，模型（5.1－13）不仅适用于一般的混沌系统，也适用于高维超混沌系统。同时，它不受混沌系统线性部分稳定性的限制，不仅适用于线性部分稳定的混沌系统，也适用于线性部分不稳定的混沌系统，增强了混沌广义同步的通用性。