自适应控制器设计的成果

假设4.1　对于驱动网络（4.4－1）中的正定矩阵A，存在一个常数矩阵T使得

（x－y）T（f（x）－f（y））≤（x－y）TTA（x－y），x，y∈Rn

成立。

定理4.4　对于驱动网络（4.4－1）中的正定矩阵A，设存在一个常数矩阵T满足假设4.1，设θ＝‖T‖，如果将自适应控制器设计为

且条件

满足，则误差动态网络（4.4－3）的解在ei（t）＝0（i＝，1，2，…，N）处渐近稳定，即驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）达到修正投影外同步。其中，IN为N维单位矩阵，差矩阵B＝（bij）N×N＝D－C＝（dij－cij）N×N，耦合强度ki＞0（i＝1，2，…，N），K＝diag（k1，k2，…，kN）。

证明：根据非线性分数阶系统的稳定性理论，考虑如下H函数：

将公式（4.4－3）和公式（4.4－4）带入到H函数中，得到(www.xing528.com)

其中，e（t）＝，耦合强度矩阵K＝diag（k1，k2，…，kN）。由于A＞0，很容易得出，如果条件（4.4－5）满足，则误差动态网络（4.4－3）的解在ei（t）＝0（i＝1，2，…，N）处渐近稳定，证毕。

从定理4.4可以看出，只要耦合强度矩阵K中的反馈增益ki足够大，即能满足条件θIN＋aC－K≤0，驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）之间的修正投影外同步即可实现。

作为不同拓扑结构的特例，两个具有相同拓扑结构的分数阶复杂网络之间的修正投影外同步也可以通过同样的自适应控制方法实现。此时，由于外部耦合矩阵C＝D，误差动态网络变成

基于定理4.4，我们给出如下推论。

推论4.1　对于两个具有相同拓扑结构的驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2），设存在一个常数矩阵T满足假设4.1，设θ＝‖T‖，如果将自适应控制器设计为

且条件（4.4－4）满足，则误差动态网络（4.4－7）的解在ei（t）＝0（i＝1，2，…，N）处渐近稳定，即具有相同拓扑结构的驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）达到修正投影外同步。

证明：根据定理4.4，当两个分数阶复杂网络的拓扑结构相同时，即外部耦合矩阵C＝D，使得差矩阵B＝（bij）N×N变为0矩阵，定理4.4中的控制器（4.4－4）即变成控制器（4.4－7），此时，将公式（4.4－7）和公式（4.4－8）带入到H函数（4.4－6）中，其余的证明过程与定理4.4相同。