修正函数投影同步方法的应用研究

本节提出一个通用的参数未知的修正函数投影同步方法，用于实现升阶或降阶后的驱动系统与响应系统之间的混沌同步。

当响应系统（4.3－2）中的参数θ未知时，将受控的响应系统和参数更新律表示为

和

其中，为需要估计的未知参数，u（X，Y，θ）为一个自适应控制器。

根据定义4.4，驱动系统（4.3－3）或（4.3－4）与受控的响应系统（4.3－5）达到修正函数投影同步是指，如果存在一个控制器u（X，Y，θ）、一个参数更新律p（X，Y）和一个比例函数矩阵Λ（t），使得成立。其中，‖·‖表示欧几里得范数，Λ（t）＝diag（α1（t），α2（t），…，αn（t）），αi（t）（i＝1，2，…，n）为连续有界函数，误差向量为e＝（e1，…，en）T［ei＝Yi－αi（t）Xi（i＝1，2，…，n）］和eθ＝（eθ1，…，eθk）T［eθi＝－θi（i＝1，2，…，k）］，k为响应系统参数的个数。

设控制器u（X，Y，θ）＝u1（X，θ）＋u2（X，Y，θ），首先选择子控制器u1（X，θ）为

其中，θ为未知参数的真实值。这样，响应系统（4.3－5）可以重写为

由此可以得出误差系统的动态方程

这里，我们假设存在一个函数矩阵b1（X，Y，θ）使得

成立。其中，b1（X，Y，θ）是一个n×（n＋k）实矩阵，为误差向量。很容易证明很多分数阶混沌或超混沌系统都满足该假设。

基于以上讨论，控制器u2（X，Y，θ）和参数更新律可以选择为

和

其中，b2（X，Y，θ）是一个n×（n＋k）实矩阵，b3（X，Y）是一个k×（n＋k）实矩阵。因此，我们可以得到误差系统(www.xing528.com)

此时，驱动系统（4.3－3）或（4.3－4）与受控的响应系统（4.3－5）的修正函数投影同步问题转化为如下问题：选择合适的矩阵b2（X，Y，θ）和b3（X，Y），使得误差系统（4.3－6）渐近稳定。下面给出相应的定理。

定理4.3　如果大小为（n＋k）×（n＋k）的矩阵b（X，Y，θ）满足如下条件

（1）bij＝－bji（i≠j）

（2）bii≤0（bii至少有一个不为0）

则误差系统（4.3－6）渐近稳定，驱动系统（4.3－3）或（4.3－4）与受控的响应系统（4.3－5）能够实现修正函数投影同步，响应系统的未知参数～θ能够正确估计。

证明：设λ为矩阵b（X，Y，θ）的一个特征值，对应的非0特征向量为β，即

对公式（4.3－7）的两端取共轭转置，可以得到

公式（4.3－7）左乘βH与公式（4.3－8）右乘β相加，我们可以得到

经过一步推导，可以得到＝βH（b（X，Y，θ）＋b（X，Y，θ）H）β／（βHβ），由于矩阵b（X，Y，θ）中的元素满足bij＝－bji（i≠j），容易得到

又因为bii≤0且至少一个bii不为0，我们可以得出结论

根据公式（4.3－9），我们可以得出结论｜argλ［b（X，Y，θ）］｜≥π／2＞qrπ／2，根据定理1.7给出的分数阶系统的稳定性理论，误差系统（4.3－6）渐近稳定，即，在实现修正函数投影同步的同时，也能正确估计响应系统的未知参数。证毕。

需要说明的是，当响应系统的参数已知时，定理4.3仍然适用，这时，b1（X，Y，θ）和b2（X，Y，θ）都是n×n实矩阵，b（X，Y，θ）＝b1（X，Y，θ）＋b2（X，Y，θ），只要选择合适的b2（X，Y，θ），即可实现修正函数投影同步，4.3.4.2节将给出参数已知情况的仿真实例。