OPCL耦合方法控制器设计成果揭示

OPCL耦合方法最初由E.A.Jackson和I.Grosu提出并用来实现两个相同混沌系统之间的完全同步，随后又应用到混沌系统构成的复杂网络中。有文献将该方法扩展到参数失配的混沌系统完全同步、反相同步和振幅衰减。目前，基于OPCL耦合方法实现各种混沌同步方法已经比较成熟，但所有方法都是针对整数阶混沌系统实现的。

设带有参数失配的驱动系统为

其中，x∈Rn为系统的状态变量，f∶Rn→Rn为一个连续函数向量，Δf（x）包含失配参数。如果系统参数没有受到干扰，将Δf（x）设为0。q＝（q1，q2，…，qn）T为分数阶混沌系统的阶次，如果q1＝q2＝…＝qn，该系统称为对称分数阶系统，否则称为非对称分数阶系统。

设受控的响应系统为

其中，y∈Rn为响应系统的状态变量，g∶Rn→Rn为一个连续函数向量，u（t）为控制器。

根据定义4.2，如果存在一个常数矩阵k＝diag（k1，k2，…，kn），使得

成立，则驱动系统（4.2－1）和响应系统（4.2－2）达到修正投影同步。通过使用OPCL控制方法，将控制器u（t）设计为

该控制器包含两个部分，不含反馈的开环部分Dqkx－g（kx）和带有反馈的闭环部分（H－Jg（kx））（y－kx），因此，该方法称为开环闭环控制。控制器（4.2－3）中的开环和闭环分别起到了不同的控制作用，开环部分创建了一个预期轨道，闭环部分将该轨道控制到稳定状态。J＝∂／∂（kx）为混沌系统的Jacobian矩阵，H为一个大小为n×n的常数矩阵。

将g（y）在kx处进行Taylor级数展开，形式为

仅保留公式（4.2－4）中的一阶项，并将公式（4.2－4）和公式（4.2－3）带入公式（4.2－2）中，得到的同步误差动力系统为(www.xing528.com)

此时，能否实现修正投影同步的关键在于如何选取矩阵H中各常数的值，使得误差系统（4.2－5）渐近稳定。对于整数阶系统，通常采取尽量简单的方式来选取，当［Jg（kx）］ij为常数矩阵，可以设为Hij＝［Jg（kx）］ij，使得［H－Jg（kx）］ij＝0；如果矩阵［Jg（kx）］ij中包含状态变量，则将Hij中相应位置设置为常量pij，只要选择的pij能够保证矩阵H满足Hurwitz标准即可，即所有特征值具有负实部。对于阶数n＝3的情况，矩阵H的特征方程为λ3＋a1λ2＋a2λ＋a3＝0，相应的Hurwitz条件为a1＞0，a1a2－a3＞0，a3＞0，具体参见定理1.3。

对于对称分数阶系统，有文献给出了一个线性分数阶系统稳定的充要条件，对于线性分数阶系统Dqx＝Ax，如果其系数矩阵A的任意特征值λ满足｜arg（λ）｜＞qπ／2，则该系统是渐近稳定的。据此可以得到定理4.1。

定理4.1　如果驱动系统（4.2－1）与响应系统（4.2－2）均为对称分数阶系统，只要误差系统的系数矩阵H的任意特征值λ满足｜arg（λ）｜＞qπ／2，则系统（4.2－5）是渐近稳定的，系统（4.2－1）和系统（4.2－2）达到修正投影同步。

根据非对称分数阶系统稳定性理论，可以得到定理4.2。

定理4.2　如果驱动系统（4.2－1）与响应系统（4.2－2）均为非对称分数阶系统，即0＜qi≤1，i＝1，2，…，n，且彼此之间互不相等，设qi＝vi／mi，gcd（vi，mi）＝1，vi，mi∈N，i＝1，2，…，n，设m为所有qi的分母mi的最小公倍数。如果方程

Δ（λ）＝det（diag（λmq1，λmq2，…，λmqn）－H）＝0

的所有特征根λ满足条件

则误差系统（4.2－5）渐近稳定，驱动系统（4.2－1）和响应系统（4.2－2）达到修正投影同步。

定理4.1和定理4.2表明，无论研究对象是对称分数阶系统，还是非对称分数阶系统，实现修正投影同步的关键在于选择合适的系数矩阵H，保证误差系统（4.2－5）渐近稳定。