【摘要】：直到1967年M.Caputo才给出了分数阶微分运算在工程使用中的定义；1983年，B.B.Mandelbort首次提出了自然界及许多技术领域中存在着大量分数维系统，而且整数阶系统微积分与分数阶微积分理论在描述动力学系统方面存在着自相似现象。随后，人们将分数阶微分方程的概念引入整数阶混沌系统中，发现当系统阶次为分数时系统仍能表现出混沌现象。由于Caputo分数阶导数的初值有明确的物理意义，所以Caputo分数阶导数在工程上被广泛应用。
分数阶微积分的研究源于17世纪，但是由于长期缺乏有效的计算手段而发展缓慢。直到1967年M.Caputo才给出了分数阶微分运算在工程使用中的定义；1983年，B.B.Mandelbort首次提出了自然界及许多技术领域中存在着大量分数维系统，而且整数阶系统微积分与分数阶微积分理论在描述动力学系统方面存在着自相似现象。随后，人们将分数阶微分方程的概念引入整数阶混沌系统中，发现当系统阶次为分数时系统仍能表现出混沌现象。例如，分数阶Chua电路在阶次为2.7时仍可以产生混沌吸引子；非自治的Duffing系统的系统阶次低于2时仍然可以表现出混沌行为。人们将系统阶次为分数的混沌系统称为分数阶混沌系统，其动力学特性几乎与整数阶混沌系统完全相同，同时还具有历史记忆功能，其动力学特性与系统阶次密切相关，因此，通常认为分数阶混沌系统要比一般整数阶系统更加复杂，在保密通信、信息加密和图像处理等领域具有更加广阔的应用前景。
分数阶微积分在300多年的发展和研究过程中，出现了若干种分数阶微分的定义，如Riemann-Liouville定义、Grunwald-Letnikov定义和Caputo定义等。由于Caputo分数阶导数的初值有明确的物理意义，所以Caputo分数阶导数在工程上被广泛应用。Caputo分数阶微分定义为(www.xing528.com)
其中，n∈N，α为分数，且n－1≤α＜n，Γ（·）为Gamma函数，f（n）（τ）为f（τ）的n阶导数。
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