混沌同步及其在图像加密中的应用研究：仿真实验结果验证

针对只在响应系统第一维附加单项线性控制器的情况，本节给出一系列仿真实验结果。本节的仿真实验中，采用四阶龙格—库塔法求解耦合的统一混沌系统，采用数学软件Matlab进行数值仿真。驱动系统（2.1－8）的初始状态取为（x1（0），y1（0），z1（0））＝（0.1，0.5，12），响应系统（2.2－1）的初始状态取为（x2（0），y2（0），z2（0））＝（10.1，12.5，2）。

2.2.2.1　控制器设计为u1＝－k1（x1＋x2）时的仿真实验

当控制器u1＝－k1（x1＋x2）的控制增益取k1＝44时，统一混沌系统参数取α＝1／30时，系统（2.1－8）与系统（2.2－1）实现混合同步的误差曲线如图2.1所示。从图2.1可以看出，实现的混合同步为全局渐进同步，同步误差精度高，随着时间的变化，系统（2.1－8）与系统（2.2－1）之间的3个误差变量e1、e2和e3都能很快趋近于0。

需要说明的是，定理2.1给出的混合同步条件为充分条件，并不是必要条件。当控制器设计为u1＝－k1（x1＋x2）时，实现混合同步的参数范围要比0≤α＜1／29大一些。多组数值仿真结果表明，实际实现混合同步的参数范围大致是0≤α≤1／11，为了估计这个参数范围，设变量e（t）＝为误差系统的平均误差，统一混沌系统参数取α＝1／11和α＝1／10时的平均误差变化情况如图2.2所示。

图2.2（a）给出了α＝1／11时的平均误差变化情况，图2.2（b）给出了α＝1／10时的平均误差变化情况。显然，耦合系统（2.1－8）和（2.2－1）在α＝1／11时能够同步，而在α＝1／10时无法实现同步。

图2.1　α＝1／30时耦合系统（2.1－8）和（2.2－1）的状态误差变化图

图2.2　误差e（t）的变化曲线

2.2.2.2　控制器设计为u1＝－k1（y1＋y2）时的仿真实验

当只在第一维附加控制器u1＝－k1（y1＋y2）时，控制增益k1的值既不能太大，也不能太小。根据定理2.2，当α＝0时，可得各参数值为M＝27，zmax＝48，zmin＝1.3，当时p＝6.83，可以得到k1的取值范围为

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因此，只要控制增益k1满足公式（2.2－5），耦合系统（2.1－8）和（2.2－3）即可实现混合同步。而事实上，公式（2.2－5）只是实现混合同步的充分条件。为了描述随着控制增益k1的增大，混合同步误差的变化情况，定义误差向量e的平均同步误差（Average Synchronization Error，ASE）如下

其中，‖·‖表示向量的欧几里得范数，t0表示起始时间。当系统（2.1－8）和（2.2－3）达到混合同步时，我们有E→0。

图2.3给出了控制增益k1从1到25变化时E的动态变化情况。可以看出，当控制增益k1满足5＜k1＜21时，系统（2.1－8）和（2.2－3）之间的平均同步误差接近0，这个取值范围包括公式（2.2－5）给出的取值范围，进一步验证了定理2.2给出同步控制条件的正确性。更多的实验结果表明，当k1的值大于25时，E的值会一直接近20，即混合同步现象完全消失。

图2.3　E关于k的变化曲线

图2.4给出了控制增益k1＝14时的同步误差曲线图，可以看出，随着时间的变化，误差系统的三个误差变量e1、e2和e3逐渐趋向于0，系统（2.1－8）和系统（2.2－3）实现了混合同步。

图2.4　k1＝14时耦合系统（2.1－8）和（2.2－3）的状态误差变化图

本节给出的仿真实验结果表明，在统一混沌系统的第一维上附加单向线性控制器，能够实现两个统一混沌系统的混合同步，但只能在系统参数的某一范围内实现。与其他控制方法的同步控制条件不同的是，将控制器设计为u1＝－k1（y1＋y2）时，要想实现混合同步，控制增益k1的取值是一个范围，既不能太大，也不能太小。