统一混沌系统的混合同步及参数范围

如果只在受控响应系统的第一维上设置控制器，两个单向耦合的统一混沌系统也能够实现混合同步，该单项控制器可以有两种选择，即u1＝－k1（x1＋x2）和u1＝－k1（y1＋y2），下面对这两种情况分别讨论。

2.2.1.1　控制器设计为u1＝－k1（x1＋x2）

对于系统（2.1－8）给出的驱动系统，当响应系统第一维上附加的线性控制器设计为u1＝－k1（x1＋x2）时，即将响应系统（2.1－9）中的控制器设计为u2＝0，u3＝0，得到的响应系统为

相应地，系统（2.1－8）与（2.2－1）之间的误差动态系统变为

下面给出只在第一维上附加控制器时混合同步实现的同步条件。

定理2.1　假设统一混沌系统具有有界性。对于驱动系统（2.1－8）和响应系统（2.2－1），设M为状态｜y1｜的最大值，N为状态z1的最小值，其中，y1和z1为系统（2.1－8）的两个状态变量，当统一混沌系统的参数满足0≤α＜1／29时，如果存在一个正数p，使得条件

（A）

成立，系统（2.1－8）与（2.2－1）能够实现混合同步。其中，各参数的值为σ＝25α＋10、r＝29α－1、β＝28－35α和b＝（8＋α）／3。

证明：仍然选择公式（2.2－3）作为Lyapunov函数，它沿系统（2.2－2）轨迹的时间导数为

其中，

显然，当矩阵Q正定时，误差系统（2.2－2）在原点处渐近稳定，Q正定当且仅当条件

（B）r＜0

（C）－pr（σ＋k1）－（pσ＋β－z1）2／4＞0

（D）－prb（σ＋k1）－（pσ＋β－z1）2b／4＋／4＞0成立。

容易看出，当0≤α＜1／29时，r＜0，如果定理2.1中的条件（A）满足，那么条件（B）～（D）即能满足。这样，根据Lyapunov稳定性理论，误差系统（2.2－2）在e＝0处渐近稳定，系统（2.1－8）与（2.2－1）能够实现混合同步，证毕。

2.2.1.2　控制器设计为u1＝－k1（y1＋y2）(www.xing528.com)

对于系统（2.1－8）给出的驱动系统，当响应系统第一维上附加的线性控制器设计为u1＝－k1（y1＋y2）时，受控的响应系统可以表示为

相应地，系统（2.1－8）与（2.2－3）之间的误差动态系统为

耦合系统（2.1－8）与（2.2－3）之间的混合同步等价于误差系统（2.2－4）在e＝0处的渐近稳定性，下面给出实现混合同步的同步控制条件，即k1的取值范围。

定理2.2　假设统一混沌系统具有有界性。对于驱动系统（2.1－8）和响应系统（2.2－1），设M为状态｜y1｜的上界，状态z1的最小值为zmin，最大值为zmax，其中，y1和z1为系统（2.1－8）的两个状态变量，当统一混沌系统的参数满足0≤α≤1／29时，如果存在一个正数p，使得条件

（A）4pbσ－M2＞0

（B）

成立，系统（2.1－8）与（2.2－1）能够实现混合同步。其中，各参数的取值分别为σ＝25α＋10，r＝29α－1，β＝28－35α，b＝（8＋α）／3。

证明：仍然选择公式（2.2－3）作为Lyapunov函数，该函数的导数为

其中，

这样，要保证＜0，Q必须为正定矩阵。对称矩阵Q正定当且仅当下面3个条件成立：

（C）r＜0

（D）pσ－（pσ－pk＋β－z1）2／4＞0

（E）pσb－（pσ－pk＋β－z1）2b／4－／4＞0

容易看出，当0≤α＜1／29时，r＜0，如果定理2.2中的条件（A）～（B）满足，那么条件（C）～（E）即能满足。这样，根据Lyapunov稳定性理论，误差系统（2.2－4）在e＝0处渐近稳定，系统（2.1－8）与（2.2－3）能够实现混合同步，证毕。

从定理2.1、定理2.2及其证明过程可以看出，将控制器设计为u1＝－k1（x1＋x2）或者u1＝－k1（y1＋y2）时，并不能保证统一混沌系统在整个参数范围都能实现混合同步，而是只能在较小的范围0≤α＜1／29内实现。同时，将控制器设计为u1＝－k1（y1＋y2）时，控制增益k1的取值是严格限制的。首先，它的值不能太小，太小的控制增益将无法保证混合同步的实现；其次，它的值又不能太大，它的取值超过某个阈值后，同步误差系统将不再稳定，耦合系统的混合同步现象将消失。