图像加密中的混合同步定义及应用研究

考虑两个连续的混沌系统

其中，系统（2.1－1）称为驱动系统，系统（2.1－2）称为响应系统，x∈Rn和y∈Rn为两个系统的状态变量，f（x，t）和g（x，t）是连续的非线性函数，u（x，y，t）为响应系统的控制器，可以是线性、非线性或自适应控制器。

定义2.1　混合同步。对于单向耦合的混沌系统（2.1－1）和（2.1－2），若存在一个控制器u（x，y，t），在任意初始状态（x（0），y（0））下，设es为正相同步误差，eas为反相同步误差，1≤m≤n－1，均有

成立，则称混沌系统（2.1－1）和（2.1－2）达到正相同步和反相同步共存的混合同步。

要想实现定义2.1给出的正相同步和反相同步共存的混合同步，控制器u（x，y，t）可以采用自适应控制、主动控制和反馈控制等方法来实现。然而，通过对大量混沌系统的特征进行研究发现，对于那些具有对称性的混沌系统，只需设计单项线性耦合控制器即可实现正相同步和反相同步共存的混合同步。

定义2.2　具有对称性的混沌系统。对于混沌系统（2.1－1），如果该系统能够被拆分成两个部分：

其中，xi∈Rni（i＝1，2），n1＋n2＝n（n1，n2≥0），且有

成立。也就是说，f1是关于x1的奇函数，f2是关于x1的偶函数。此时，我们称混沌系统（2.1－1）在坐标变换（x1，x2）→（－x1，x2）下具有对称性。

对于具有这种对称特性的混沌系统，要实现x1上的反相同步与x2上的正相同步共存，只需设计简单的线性反馈控制器即可，只要控制增益足够大，即可实现正相同步与反相同步共存的混合同步。

在众多的混沌系统中，具有对称性的混沌系统有很多，统一混沌系统和超混沌Qi系统是两个典型的例子。(www.xing528.com)

2002年，吕金虎等提出了一个新的混沌系统，该系统将Lorenz吸引子和Chen吸引子连接在一起，被称为统一混沌系统（unified chaotic system），其数学模型为

其中，系统参数α∈［0，1］；当0≤α≤0.8时，系统属于广义Lorenz系统；当0.8＜α≤1时，系统称为广义Chen系统；当α＝0.8时，系统成为Lü混沌系统。它代表了由中间无穷多个混沌系统组成的整体。

统一混沌系统可以拆分成如下两个子系统

这样，在耦合的统一混沌系统中，只要设计合适的单项线性控制器，正相同步和反相同步可以共存，其中，状态变量x1＝［x，y］T呈现反相同步，而x2＝［z］T呈现正相同步。

超混沌Qi系统随着参数的改变能够产生复杂的动力学行为，相空间具有很大的遍历范围，数学模型可以描述为

其中，参数a，b，c，f，g，h为正常数，当a＝50，b＝22，c＝13，d＝8，e＝33，f＝30时，有两个正的Lyapunov指数，系统呈现出超混沌特性。

设

同理，两个超混沌Qi系统进行耦合控制时，在状态变量x1＝［x，y］T呈现反相同步的同时，x2＝［z，w］T呈现正相同步。