分数阶混沌系统的稳定性及应用研究

分数阶系统的稳定性理论是实现分数阶混沌同步控制的关键。针对线性分数阶系统的稳定性判定方法，国内外学者已经进行了深入研究，并且得到了一些分数阶系统的稳定性定理。

（1）对称分数阶系统稳定性

1996年，D.Matignon给出了一个线性分数阶系统稳定的充要条件。考虑线性分数阶系统

其中，阶次0＜q≤1，x∈Rn为系统的状态变量，A∈Rn×n为系数矩阵。

定理1.7　如果系数矩阵A的任意特征值λ满足｜arg（λ）｜＞qπ／2，则系统（1.3－5）是渐近稳定的；如果系数矩阵A的任意特征值λ满足｜arg（λ）｜≥qπ／2｜，则系统（1.3－5）是稳定的。

分数阶系统的稳定性与系数矩阵特征值的关系可以通过图1.3表示。很明显，若阶次为0＜q≤1时，无论状态向量为何值，只要系统的系数矩阵的全部特征值实部都不大于0，则分数阶线性系统渐近稳定。

对于非线性分数阶系统

如果系统平衡点的Jacobian矩阵的所有特征值都在稳定区域内，即所有特征值λ都满足｜arg（λ）｜＞qπ／2，那么该平衡点为系统的一个稳定平衡点，则系统是渐近稳定的，这是判定分数阶系统是否稳定的重要依据。但是因为A（x）经常含有状态变量，直接计算其特征值并不容易，因此也就很难根据其特征值来判断系统是否稳定。近年来，胡建兵等在定理1.7的基础上提出了两个更为简单的分数阶混沌系统的稳定性判定定理，依据是当分数阶系统的阶次满足0＜q≤1时，在状态变量的全局变化范围内，分数阶系统的系数矩阵的特征值的实部都不大于0。

图1.3　分数阶系统的稳定区域(www.xing528.com)

定理1.8　对于分数阶系统（1.3－6），当阶次满足0＜q≤1时，如果系统的系数矩阵满足Lyapunov方程，即存在实对称正定矩阵P和半正定矩阵Q，使得方程A（x）P＋P（A（x））H＝－Q对于任意的状态变量x恒成立，则分数阶系统（1.3－6）渐近稳定。

定理1.8表明，只要系数矩阵满足Lyapunov方程，分数阶系统就能稳定。因此，在研究分数阶混沌系统的同步控制时，对于两个分数阶混沌系统的误差系统，如果可以通过设计合适的控制器使误差系统的系数矩阵满足这种特定的关系，则同步误差渐近稳定，两个系统即可实现同步。

定理1.9　对于分数阶系统（1.3－6），当阶次满足0＜q≤1时，如果存在实对称正定矩阵P，使得对于任意的状态变量x，方程H＝xTPDqx≤0恒成立，则分数阶系统（1.3－6）渐近稳定。

从定理1.9可以看出，判定分数阶系统稳定的方程H非常类似于整数阶系统的Lyapunov函数，因此，构造方程H时可以参考Lyapunov函数构造的方法。

（2）非对称分数阶系统稳定性

考虑如下的n维线性分数阶系统

其中，0＜qi≤1，i＝1，2，…，n，且彼此之间互不相等，称该系统为非对称分数阶系统。设qi＝ki／mi，gcd（ki，mi）＝1，ki，mi∈N，i＝1，2，…，n。设m为qi的分母mi的最小公倍数。定义矩阵

定理1.10　对于非对称分数阶系统（1.3－7），如果Δ（λ）的所有特征值λ满足，则系统（1.3－7）是渐近稳定的。

除了上述分数阶系统的稳定性判定标准，还有一些其他的稳定性判定方法。例如，李岩等在文献中提出了分数阶非线性系统的Mittag-Leffler稳定的Lyapunov直接方法。但是该方法仅适用于一维系统，且Lyapunov函数很难构造。