整数阶混沌系统稳定性研究

1.3.1.1　线性稳定性理论

考虑下面的常系数线性混沌系统

其中，x∈Rn，A是n阶实常系数矩阵。

定理1.1　若A的所有特征值均具有负实部，则系统（1.3－1）的零解是渐近稳定；若A的所有特征值具有非正实部，且其具有的零实部的特征值仅对应单重初等因子，则系统（1.3－1）的零解是稳定的；若A具有正实部的特征值，则系统（1.3－1）的零解是不稳定的。

定理1.1指出，判断系统稳定性最基本的方法是根据系数矩阵的特征值的性质来判定。但求解高于三阶的矩阵的特征值相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，无须求特征值，但都说明了特征值在复平面上的分布情况，从而判断系统的稳定性。这里介绍劳斯－赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据。

（1）Routh稳定判据

Routh判据是E.J.Routh在1884年提出的一种稳定判据。将系统的特征方程写成如下标准形式

将特征方程（1.3－2）的系数排成如下的Routh表：

表中的相关系数定义为：

各行系数的计算一直进行到该行其余的值全部等于0为止。

定理1.2　一个系统的特征方程的根全部具有负实部的充要条件是Routh表中第一列各值为正，如果Routh表第一列中出现小于0的数值，则系统不稳定，且第一列各数符号的改变次数就代表特征方程式的正实部根的数目。

对于特征方程阶次n≤4的系统，Routh判据可以作如下简化：

（a）二阶系统稳定的充要条件为a0＞0，a1＞0，a2＞0；

（b）根据三阶系统的Routh表可得三阶系统稳定的充要条件为：

ai＞0（i＝0，1，2，3），a1a2＞a0a3

（c）根据四阶系统的Routh表可得三阶系统稳定的充要条件为：

（2）Hurwitz稳定判据

Hurwitz判据是A.Horwitz在1895年提出的，该方法提出用特征方程系数来判别系统的稳定性，将特征方程（1.3－2）的各系数排成如下形式(www.xing528.com)

定理1.3　一个系统稳定的充分必要条件为，在a0＞0的情况下，主行列式Δn及对角线上各阶子行列式Δj（j＝1，2，…，n）均大于0，即

Hurwitz稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。

1.3.1.2　非线性稳定性理论

在实际应用中，非线性混沌系统的稳定性判定通常包括两种方法，第一种方法是基于局部线性化的稳定性分析，第二种方法是Lyapunov函数法。

（1）基于局部线性化的稳定性分析

对于一个混沌系统f（x），定义驱动系统＝f（X）和响应系统＝f（Y）的同步误差系统为e＝Y－X，将误差系统的导数进行泰勒展开，得到

其中，Dfx表示函数f对向量X的偏导数。忽略二阶以上的高阶无穷小项，公式（1.3－3）可转化为＝Dfx·e，只要该误差系统是稳定收敛的，则驱动系统和响应系统的同步即可实现。线性时变系统的稳定性判断比较困难，可以采用数值计算的方法，通过计算其Lyapunov指数来确定误差系统的敛散性，此时求得的Lyapunov指数称为条件Lyapunov指数（Conditional Lyapunov Exponent，CLE）。如果CLE为负，则说明初始扰动将按照指数规律缩小，两个系统可以达到同步，反之，则意味着误差系统不稳定，无法实现同步。通过计算CLE判断误差系统的稳定性的方法非常直接，但CLE的计算比较复杂，有时还会受计算机处理精度的影响导致计算结果不准确。

（2）Lyapunov函数法

定义1.4　正定的Lyapunov函数。设V（x）为相空间坐标原点的邻域D中的连续函数，且V（x）是正定的，即除了V（0）＝0外，对D中所有其他的点均有V（x）＞0。这样的函数称为正定的Lyapunov函数。

考虑定常微分动力系统方程

此时，f（0）＝0，且f（x）在邻域D内具有连续偏导数。Lyapunov函数判定法的基本思想是，构造一个正定的Lyapunov函数，利用它的正定性和该函数沿相应定常微分动力系统方程的轨迹方向的全导数的性质来确定对应方程零解的稳定性。

V（x）沿方程（1.3－4）的解x（t）的全导数为

下面给出基于Lyapunov函数的稳定性理论。

定理1.4　如果对于动力学方程（1.3－4）存在一个正定的Lyapunov函数V（x），其全导数（x）是负半定的，即对于D中所有点都有（x）≤0，则方程的定点是稳定的。

定理1.5　如果对于动力学方程（1.3－4）存在一个正定的Lyapunov函数V（x），其全导数（x）是负定的，即对于D中所有点都有（x）＜0，则方程的定点是渐近稳定的。

定理1.6　如果对于动力学方程（1.3－4）存在一个正定的Lyapunov函数V（x），其全导数（x）是正定的，即对于D中所有点都有（x）＞0，则方程的定点是不稳定的。

Lyapunov函数法得到了普遍应用，不仅适用于线性定常系统，同时也适用于非线性定常系统，但是在Lyapunov函数的构造上至今没有通用的方法，对于稳定的系统必然存在多个Lyapunov函数可以使用，在实际应用中，一般根据混沌系统的结构和经验技巧去选择，对于比较简单的同步方式，可以将Lyapunov函数取为二次型的形式。