混沌同步研究及其图像加密应用

目前，分数阶混沌系统同步方法一般分为两类，一类是将整数阶混沌系统的同步方法推广到分数阶系统中，另一类是针对分数阶系统设计的同步化方法。

将整数阶混沌系统同步方法推广到分数阶系统时，实现同步的控制方法基本相同，主要的差别在于，分数阶系统的混沌吸引子是否存在与系统的阶次密切相关，而且，某些系统可能不能采用Lyapunov直接法判断系统的稳定性。近年来，人们不断地将自适应控制、主动控制、变结构控制和基于状态观测器控制等方法推广到分数阶系统中。例如，基于线性状态反馈控制技术，提出分数阶混沌系统的投影同步方案，基于线性分数阶系统的稳定性理论，设计合适的控制器达到同步。还有文献基于Lyapunov稳定性理论、分数阶微分不等式和自适应策略，设计修正的自适应控制器，实现非对称分数阶混沌系统的同步。另外，有文献采用主动控制方法实现两个不同分数阶系统的同步，两个系统同步时仍然保持混沌状态，同时，数值仿真实验结果表明，随着阶数的增加，同步的速度加快。

与上述推广整数阶混沌控制方法不同，针对分数阶系统设计的同步化方法主要从分数阶系统的特性出发，依据分数阶系统的稳定性、分数阶系统的结构等特征而形成的。1996年，D.Matignon研究了分数阶线性系统的稳定问题，给出了分数阶线性系统稳定性理论，为分数阶系统的控制和同步奠定了重要基础；2008年，胡建兵推广了分数阶系统的稳定性理论，提出了两个基于Lyapunov方程的分数阶系统稳定性判定定理，如果根据分数阶混沌系统的系数矩阵能构造出Lyapunov方程，则该分数阶混沌系统渐近稳定；吕金虎等研究了n维线性分数阶系统的稳定性，通过使用拉普拉斯变换，为分数阶系统引入一个特征方程，如果特征方程的所有根都具有负实部，那么，系统平衡点是全局渐近稳定的，并给出了不对称分数阶系统的稳定性理论。这些稳定性判据成为分数阶系统同步的主要实现依据。

除了以上这两大类方法，还有一些实现分数阶混沌系统同步的方法。第一种方法将分数阶混沌系统近似为一个整数阶混沌系统，并按此整数阶混沌系统来设计控制器来实现同步，这种方法的误差会比较大，因为混沌系统具有参数敏感性和微分阶次敏感性，即使近似时差异很小，也会对最终同步结果产生非常大的影响。第二种方法自适应地设计控制器，使得同步误差系统的系统矩阵变为定常的负定矩阵，通过使同步误差渐近趋于零而实现混沌同步，这实际是将非线性的误差系统转化为线性系统，这种方法牺牲了非线性项，控制代价大，同时也是研究非线性系统所不希望的。(www.xing528.com)

在各种混沌同步方式中，投影同步是一种通用性较强的同步方式。投影同步是指驱动系统和响应系统的状态变量趋于某一比例因子常数，当将该比例因子常数修改为比例函数矩阵或常数矩阵时，便构成修正函数投影同步或修正投影同步。将投影同步方法应用于保密通信时，对于通信双方以外的第三方而言，比例函数或比例矩阵是完全无法预测的，从而增加了混沌信号在传输过程中被破译的难度，进而获得更好的安全性。目前，国内外学者对整数阶混沌系统投影同步的研究已经比较深入，而对分数阶混沌系统投影同步的研究却比较少，大多数研究都是从整数阶混沌系统推广而来，或者借鉴整数阶混沌系统同步控制的思想。例如，有文献对阶次不相等的不同分数阶混沌系统的投影同步问题进行了讨论。基于分数算子的重要特性和分数阶系统的稳定性理论，提出了一个实现投影同步的通用方法，通过在控制器中引入分数阶算子将问题转化为阶次相等的不同分数阶混沌系统的同步问题，基于主动控制技术设计了一个非线性反馈控制器。周平研究了分数阶系统之间的函数投影同步现象，根据分数阶系统的稳定性理论与跟踪控制思想设计了相应的控制器，该控制器能够实现阶次不相等的Lorenz系统之间的混沌同步。还有文献采用线性输出误差反馈，通过一个标量传输信号，实现了一类分数阶混沌系统的广义投影同步，基于线性分数阶系统的稳定性理论，给出了实现同步的充分条件，使用两个实例验证了所提同步方案的有效性。还有文献提出了一个实现两个分数阶Rössler系统广义投影同步的方案，构建了与分数阶Rössler系统近似的整数阶系统，基于局部线性分解和状态误差负反馈方法，设计了针对该整数阶系统的控制器，数值仿真实验证明了该同步方案的有效性。

目前，分数阶混沌系统同步方法主要由整数阶系统推广得到，而且主要针对阶次相等、参数已知的分数阶混沌系统开展研究，尚处于研究初期，在这一领域将会有更大的发展空间。