混沌同步分类及其在图像加密中的应用

本节首先给出混沌同步的统一数学定义。

定义1.3　混沌同步。考虑如下两个非线性动力学系统

其中，x，y∈Rn分别为两个系统的状态变量，f，g∶［R＋×Rn］→Rn为非线性映射，u∶［R＋×Rn×Rn］→Rn为混沌系统的同步控制项，R＋为非负实数集。如果存在D（t0）⊆Rn，x0，y0∈D（t0），存在与时间无关的映射h∶［R＋×Rn］→Rk，使得‖h（x（t；t0，x0），y（t；t0，y0））‖＝0成立，则称系统（1.2－1）与系统（1.2－2）实现混沌同步。系统（1.2－1）称为驱动系统，系统（1.2－2）称为响应系统，D（t0）为同步区域。若D（t0）支撑着整个空间Rn，则实现的同步为全局同步，若D（t0）只是Rn的一个子集，则称该同步为局部同步，如果f＝g，则称为自同步。

对定义1.3给出的统一数学定义，映射h的不同情况定义了不同类型的混沌同步。下面简要介绍几种典型的同步方案。

（1）完全同步（Complete synchronization）：指从不同初始点出发的两个混沌系统（同构或异构），随时间推移其轨道趋于一致，即‖x（t；t0，x0）－y（t；t0，y0）‖＝0成立。这种同步是混沌同步中最普遍的一种，T.L.Pecora和L.M.Carroll提出的驱动—响应同步方法实现的混沌同步就是完全同步的经典实例。

（2）反同步（Anti-synchronization）：也称反相同步，指达到同步的两个混沌系统的状态向量的绝对值相同但符号相反，即满足‖x（t；t0，x0）＋y（t；t0，y0）‖＝0。实际工程应用中，各组件之间的状态不能保证都是一致的，需要研究符号相反意义上的同步。(www.xing528.com)

（3）相位同步（Phase synchronization）：指两个混沌系统的振荡相位比是恒定的，而振幅不必相关。设驱动系统和响应系统具有相位φ1和φ2，若存在正数p和q，使得‖pφ1－qφ2‖＝0成立，则称两个系统达到相同步。判定相位同步的方法包括：用基于变换的解析信号方法、做循环相位差的直方图法和从循环相位差的分布曲线上寻找最高峰来确定同步。相位同步广泛应用于医学、雷达系统及大脑系统等。

（4）广义同步（Generalized synchronization）：指响应系统的状态变量与驱动系统的状态变量保持某个函数的关系，即存在连续函数Φ，使得‖Φ（x（t；t0，x0））－y（t；t0，y0）‖＝0成立。完全同步和反同步都可以看作是广义同步的特例，广义同步是更通用的形式，因此，研究广义同步更有实际意义。

（5）滞后同步（Generalized synchronization）：指驱动系统和响应系统状态之间存在一个固定的时间延时时，两个混沌系统轨道保持一致的同步现象。滞后同步现象广泛存在于电子、生理学及光通信等领域中。

（6）投影同步（Projective synchronization）：指混沌系统在一定条件下耦合时，驱动系统和响应系统状态之间的状态变量按某一常数比例因子关系演化，即存在常数α，使得‖αx（t；t0，x0）－y（t；t0，y0）‖＝0成立。这种同步方式是R.Mainieri和J.Reheak在研究部分线性混沌系统时观察到的一种同步现象。在此基础上，有学者提出了修正投影同步方案，该方案使驱动系统和响应系统的状态变量能够按照不同的比例因子进行投影同步，即存在常数矩阵α＝diag（α1，α2，…，αn），使得‖αx（t；t0，x0）－y（t；t0，y0）‖＝0成立。同时，还有文献提出了函数投影同步的同步方案，指驱动系统和响应系统按照一个时间函数进行演化，即存在一个时间函数α（t），使得‖α（t）x（t；t0，x0）－y（t；t0，y0）‖＝0成立。在这些方案的基础上，很多学者提出了各种各样的投影同步的扩展方案，如混合函数投影同步和修正函数投影同步等。在混沌保密通信中，投影同步可以把数据从二进制扩展到M进制以实现更有效、更可靠、更安全的传输。因此，对混沌投影同步的产生机制及应用场景的研究具有重要意义。

除了以上几种典型的、研究较多的混沌同步方式以外，还有其他一些特殊的同步方式，如预测同步（Anticipating Synchronization）、脉冲同步（Impulsive Synchronization）、错位同步（Dislocated Synchronization）和Q－S同步等。