《初等数论》：数论史概说

数论是一门神奇的学科，它的内容因不同的人而变得简单或复杂.既简单到小学生能懂，又难倒过许多大数学家.

对于小学生而言，数论就是整数、小数、分数及其四则运算，理解起来并不困难；对于大数学家们而言，数论却是诸如费马大定理、哥德巴赫猜想、黎曼（Riemann)猜想等复杂而神秘的问题，往往探索一生至多是搭建一两个台阶，而极少能够凭一己之力圆满解决.

数论是如何发展起来的呢？

数论的起源，要追溯到公元前500多年.那时，人们在拥有了数的概念之后，自然会接触到数的一些性质.而第一个研究数的性质的学者，是古希腊著名哲学家毕达哥拉斯.

毕达哥拉斯学派秉持“万物皆数”的哲学思想，为探索自然的奥秘而研究数.他们将正整数分为奇数和偶数，研究了奇数和偶数的运算规律，提出了亲和数、完全数等概念，给出了220和284这对亲和数，以及前三个完全数6，28，496，等等.但是，他们对正整数的研究，出于占卜等宗教活动的需要，因此，具有浓厚的宗教神秘色彩，没有严格的概念定义和推理论证.

大约在公元前300年，古希腊另一位著名的数学家欧几里得把正整数的研究推向前进.在其著作《几何原本》中，首次给出了因数、倍数、质数、互质等基本概念的精确定义，并对所得到的结论进行了证明，从而使数论的研究严格化.

而且，欧几里得还发现质数在整数理论中的重要价值和基础地位.他不仅证明了关于自然数和质数之间的积性关系，还证明了质数个数的无穷性，提出了计算最大公约数的辗转相除法，等等.通过他的工作，形成了初等数论的雏形.

公元250年前后，古希腊代数学家丢番图为初等数论开辟了一片新天地——不定方程问题.他将自己的研究成果写成了一本《算术》，这本书开启了中世纪的初等数论研究.

大约与此同时，中国也开辟了数论的另一个领域——同余理论.《孙子算经》中记载的“物不知数”问题，就涉及了同余理论的研究.而我国南宋时期的数学家秦九韶所提出的“大衍求一术”，则比后来的高斯早了几百年，给出了具体且完备的解一次同余方程组的方法.

到了17世纪初，一位法国业余数学家费马接过了初等数论研究的大旗.他的研究兼有欧几里得和丢番图的影子，提出了许多定理，最著名的是费马大小定理.

这两个定理都是费马在阅读丢番图的《算术》时提出的，尤其是费马大定理，基本上延续了丢番图从不定方程来发展数论的思想.但是费马的其他猜想，也有欧几里得的影子，例如他给出的费马数.

到了18世纪，杰出的瑞士大数学家欧拉，推翻了费马数都是质数的结论，证明了费马小定理的正确性，利用连分数给出了佩尔（Pell)方程的最小解，并在其《代数指南》中使用“无穷递降法”，使之成为数论研究中很重要的方法之一.

在18世纪末，数学家们发现，初等数论的研究似乎已成定局——整数的性质已经被研究得差不多了.

然而，进入19世纪，与阿基米德（Archimedes)、牛顿（Newton)并称世界数学史上三位最伟大的数学家的德国数学家高斯发表了划时代的著作《算术研究》，这又开辟了数论研究的新时代.在这本著作中，他不仅系统整理了这之前的数论中孤立的结果，而且详细阐述了自己的成果，给出了同余的标准记号和完整理论体系.

到了19世纪20年代，高斯又着重研究了二次互反律.这是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性定律.他非常欣赏这个定律，给这个定律多种不同的证明，并且试图将它推广为三次和四次互反律.

但是经过研究之后，高斯发现，如果想让三次和四次的剩余理论像二次剩余理论一样简洁优美，其中所涉及的数就必须超出整数的范围，于是他引进复整数.

引入复整数之后，他惊奇地发现，一些初等数论中的定理，在复整数中仍然成立，例如，每一个整数都能唯一地分解为质因子的乘积.如此一来，高斯打破了初等数论的困境，将数论带到了一个广阔的新天地——复整数.

到了19世纪中叶，德国数学家库默尔和戴德金（Dedekind)将高斯的研究成果成功地推广为一个全新的数论分支学科——代数数论.(www.xing528.com)

在代数数论中，研究对象从正整数变成了代数整数.此外，还有代数数域.到了1898年，德国数学家希尔伯特（Hilbert)在对各代数数域的性质加以系统总结和发展后，代数数论得以定型.

与初等数论相比，代数数论涵盖更广、系统性更强.这是代数数论工作者们最值得自豪和被称赞的地方.

如果说代数数论是对初等数论研究内容广度的一个拓展的话，那么解析数论可以说是对于数论研究方法的一次创新.

解析数论的源头，可以上溯到欧拉.早在1737年，欧拉在研究无穷级数和无穷乘积的收敛性时，第一次把分析学与数论关联起来.

19世纪初叶，德国数学家狄利克雷（Dirichlet)发表了《数论讲义》，对高斯艰深难懂的著作《算术研究》给予明晰的解释并有创见，他也运用分析方法作为工具，构建了一批新函数，从其解析特性中，得到了这样的结果：若l与k为互质的正整数，则算术级数l，l＋k，l＋2k，…中一定有无限多个质数.

在欧拉和狄利克雷为解析数论打好基础以后，1858年，德国数学家黎曼发表了一篇关于质数分布的论文，其中也正式宣告了又一个新的数论分支学科——解析数论的诞生.

在这篇论文中，他认为，质数的性质可以通过复变函数来探讨，如质数的分布，关键是研究复变函数的零点性质.而至今仍没获得证明的黎曼猜想，就是对复变函数零点性质的一个猜想.从此解析数论得到了迅猛发展.

1896年，法国数学家阿达马（Hadamard)根据黎曼的方法与结果，应用整函数理论，成功地证明了质数定理，从而建立了解析数论的基础，让解析数论成为20世纪最活跃的数论分支之一.

解析数论在中国也卓有成效.从杨武之，到华罗庚、王元、陈景润等，都有非常卓越的成果与贡献.陈景润对于“1＋2”的证明，就是运用解析数论的方法来完成的，这是目前世界上证明哥德巴赫猜想最好的结果.

解析数论的创立，让许多初等数论中很难证明的定理变得简单，同时可以提出更多新的数论问题，让数论这门学科的生命力得以延续.

在数论中，除了初等数论、代数数论和解析数论之外，还有概率数论、超越数论等许多分支学科.

以上提到的数学家们，多数不是数论的专家.他们在数学的其他领域，乃至在数学以外的天文和物理等领域，大多也有辉煌的研究成果和杰出的德才表现.

在数论研究中，除了前面提到的数学家之外，还有许多数学家作出了卓越的贡献、取得了丰硕的成果，留下了可歌可泣或风趣迷人的故事.

现代数论，已经渗透到数学的许多分支学科和计算机等其他数学以外的学科.渗透与结合所产生的成果，已经被广泛应用于科技、密码、信号、计算机性能检验等众多领域.

在数论中，还有许多看似简单实则非常困难的问题没有解决，如哥德巴赫猜想和黎曼猜想等.为了解决这些难题，数学家们曾经还必将作出不懈的努力，曾经还必将留下激动人心的成果和故事.

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