初等数论的研究成果：三元一次不定方程通解公式证明及应用

1.设（x，y，z)是方程的任一整数解，则推出d|（z-z0)，即存在整数t2，使得z-z0=dt2.进而得到a′（x-x0)＋b′（y-y0)=-ct2.

由于x0-uct2，y0-vct2为该方程的一个特解，其通解为

即原三元一次不定方程的任一解可通过该公式表示.反之，对于任意整数t1，t2，上述公式代入原三元一次不定方程也成立.

2.在15分钟内，甲、乙两个教堂的钟声分别敲响了60×15÷4/3=675（声)和60×15÷7/4=514（声).

假设以听甲教堂的钟声为主，即甲教堂的钟声都能听到，乙教堂的钟声与甲教堂的钟声间隔在1/2秒内者听不到，又设这些听不到的钟声数目为x，则在15分钟内可以听到的钟声数为675＋514-x.

设n，m分别是甲、乙两个教堂的钟声敲响的次序数，则1≤n≤675，1≤m≤514.由实际意义可知满足不等式组0≤|（4/3)n-（7/4)m|≤1/2的正整数n和m的个数相等，而这个相等的个数就是x.

给出k（-6≤k≤6)的各允许值，分别解上述不等式组，求得t的允许值个数，即前述方程组解的个数，就是n（或m)的个数，也就是x，计算知x=418.

所以，15分钟内若不算开始的一声，可听到675＋514-418=771（声)响.

习题4.1

1.（1)229/99；（2)310/249.

2.（1)[1，1，2]；（2)[-2，2，3]；（3)[2，7，1，2，4]；

（4)[3，7，15，1，25，1，7，4]；（5)[0，2，2，2].(www.xing528.com)

习题4.2

1.（1)p0/q0=1，p1/q1=3/2，p2/q2=10/7，p3/q3=43/30；

（2)p0/q0=3，p1/q1=7/2，p2/q2=24/7，p3/q3=103/30，p4/q4=539/157；

（3)p0/q0=2，p1/q1=3，p2/q2=5/2，p3/q3=23/9，p4/q4=28/11，p5/q5=51/20.

2.（1)3，4，7/2，18/5，61/17，140/39；

（2)4，17/4，21/5，38/9，211/50；

（3)1，5/4，6/5，17/14，74/61，165/136，404/333.

从小到大排列顺序为3，11/3，41/11，56/15，15/4，4.

从小到大排列顺序为10，72/7，175/17，278/27，103/10，31/3.

习题4.3

习题4.4