初等数论|同余方程组的解与同余方程的关系

1.证明：设同余方程组任意解中的一个值为r，则

即同余方程组任意解是同余方程的解.

反之，设同余方程任意解中的一个值为r，则r≡a（mod[m1，m2]).

∵m1|[m1，m2]，m2|[m1，m2]，∴r≡a（modm1)，r≡a（modm2)，

即同余方程任意解是同余方程组的解.

2.设所选正整数是x，说出的3个余数依次为a，b，c，则

将a，b，c代入即可得到符合要求的答案.

习题3.1

1.（1)无；（2)有；（3)有；（4)有.

2.（1)（-1，-2)；（2)（4×193，3×193)=（772，579).

5.大盒3个，小盒5个.

6.依次看到的里程数分别是16，61，106，车速为45（千米/小时).

7.庄李两家各交水费69元、36元.

8.6岁或24岁.

习题3.2

1.k为15，30，45，60，75，90.

3.（1)（x，y，z)=（1，4，1)，（3，3，1)，（5，2，1)，（7，1，1)；（2)（x，y，z)=（1，2，2).

4.（8，2，1)，（5，4，1)，（4，2，2)，（2，6，1)，（1，4，2).

5.（6，1，1)，（3，2，2)，（2，1，4)，（1，4，1).

6.12小时.

习题3.3(www.xing528.com)

2.中、小宿舍共有10，8或6间.

3.可买大牛1头，小牛9头，牛犊90头.

4.10，75，15.

习题3.4

1.（11，132).

2.（11，2，23)或（2，59，2).

3.（499，-334)，（-501，332)，（499，332)，（-501，-334).

4.（8，10)，（10，8).

5.（12，-11)，（-12，11)，（12，11)，（-12，-11).

6.（32，31)，（32，-31)，（-32，31)，（-32，-31)，

（12，9)，（12，-9)，（-12，9)，（-12，-9)，

（8，1)，（8，-1)，（-8，1)，（-8，-1).

7.（-4，1，3)，（-4，3，1).

8.78，22.

习题3.5

1.仿照例2可证.

2.先证勾股互质时成立，用其再证一般情况下成立.

3.由例2与本习题第1题结论可证.

4.仿例4可得共有12个整数解：