1.（1)因为a=10x＋y=9x＋（x＋y)，所以9|a⇔9|（x＋y).
（2)因为a=10x＋y=10（x＋2y)-19y，所以19|a⇔19|（x＋2y).
（3)因为a=10x＋y=10（x＋3y)-29y，所以29|a⇔29|（x＋3y).
一般地，可猜想并仿上证明，对任意的正整数n，有如下结论成立：
进一步还可猜想并证明末位是1的数的整除性判别依据：
对任意的正整数n，（10n＋1)|a⇔（10n＋1)|（x-ny).
进而还可猜想并证明末位是3或7的数的整除性判别依据：
对任意的正整数n，（10n±3)|a⇔（10n±3)|[x±（3n±y)].
2.例如，（57-1)÷2=28在表中，57是合数；（53-1)÷2=26不在表中，53是质数.
观察数表不难发现：第k行与第k列相同，即关于从左上方到右下方的对角线对称.
各行（列)都是等差数列，通项依次为
上述各式右边前项（表中第1列)成等差数列，通项为4＋3（i-1)，各式右边后项（j-1)的系数（各行所成数列的公差)又成等差数列，其通项为3＋2（i-1).
所以表中位于第i行与第j列交叉处的数为
显然，aij=aji，这说明表中位于第i行与第j列交叉处的数，等于表中位于第j行与第i列交叉处的数，这与表的构成特点相吻合.
因此，一个正整数a在数表中⇔a=2ij＋i＋j（i，j∊N*).
进而可得判定定理：正整数a在数表中⇔2a＋1为合数（证略).
3.根据“各圆圈内四个数大小须搭配”这一思考目标，通过试验不难得到几个乃至十几个答案（如下图1给出了一个)，求全答案步骤如下：
图1
图2
（1)问题代数化.设问题答案如图2所示，且各圈内四数之和为x.
（2)确定x.
（3)依x定g.
（4)依x，g定a，b，c，d，e，f，分类讨论得18个解（见下表).
（5)求全答案：由图1空中可填数的对称性和轮换性可知，对任一独立解，均对应另5种填法，所以，共有18×6种填法.
18个独立解表
续表
习题2.1
1.（1)，（5)，（6)成立；（2)，（3)，（4)不成立.
2.（1)3；（2)6；（3)5；（4)1.
3.（1)√；（2)×；（3)×；（4)√.反例略.
4.略.
5.略.
6.一个数的末3位数字组成的数，能被8或125整除.
7.24，29.
8.1.
9.n=4k＋2（k∊N).
10.x=y=4.
11.（1)略；（2)6位能，7位不能.
习题2.2
1.1，3，5，7，9，11，13，15，17.
2.提示：（m-1)2与1同余，来自一类.(www.xing528.com)
3.模5的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4；
模5的绝对最小完全剩余系为-2，-1，0，1，2；
一一对应关系：0≡0（mod5)，1≡1（mod5)，2≡2（mod5)，3≡-2（mod5)，4≡-1（mod5).
4.提示：利用模m的最小非负完全剩余系0，1，2，…，m-1.
5.提示：设整数n=7m＋t（t=-3，-2，…，2，3)证明.
6.80个.
7.31，2.
8.略.
9.7875.
10.略.
习题2.3
1.6.
2.1.
3.84.
4.1.
5.可.
6.略.
7.由费马小定理推论可得.
8.由费马小定理推论可得.
9.略.
10.30.
习题2.4
1.（1)01，0010；（2)9990，99909.
3.前两个可以分别化为3位和4位有限小数：0.062，0.5968；
5.2160.
6.参照定理3证明.
习题2.5
1.（1)该式不符合同余方程及其解的定义，不在我们讨论的范围.事实上，x可以取任意实数，讨论这样的问题意义不大，故定义将其排除.
（2)唯一.（3)无解.（4)唯一.（5)5个解.
2.（1)x≡5（mod6)；（2)x≡0（mod4)；（3)2x≡9（mod17)；
（4)x≡534（mod2401)；（5)x≡200（mod551)；（6)x≡81（mod337).
3.（1)2个解为x≡6（mod18)，x≡15（mod18).
（2)3个解为x≡2（mod18)，x≡8（mod18)，x≡14（mod18).
（3)无解.
（4)5个解为x≡200＋551k（mod2755)，k=0，1，2，3，4.
（5)5个解为x≡3＋277k（mod1385)，k=0，1，2，3，4.
习题2.6
1.（1)有解；（2)无解.
2.a=7k＋1（k是整数)时有解.
3.（1)x≡57（mod504)；（2)x≡109（mod440).
4.（1)x≡271（mod360)；（2)x≡127（mod216)；
（3)x≡107（mod140)；（4)x≡73（mod105).
5.17人.
6.至少19袋.
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