在第一章和第二章，我们从不同角度介绍过费马小定理，其实质是一致的、等价的.在此，我们简要介绍费马大定理及其探索、证明过程，从中可以了解数学家们的探索精神和卓越贡献.
在本章第5节，关于三元二次不定方程x2＋y2=z2的正整数解，我们得到了下面的通解公式：
自然，人们也试图求出方程x3＋y3=z3，x4＋y4=z4的正整数解，但遇到了困难.
古希腊数学家丢番图（Diophantus)著的《算术》一书，1621年被译成拉丁文在法国出版.
1637年，法国业余大数学家费马从中读到“将一个平方数分为两个平方数”后，想到了更一般的问题，在页边空白处用拉丁文写了一段话：
不可能将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂.关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里空白太小，写不下了.
当整数n＞2时，方程xn＋yn=zn没有非零整数解.
这就是著名的费马大定理，由于多年未获证明，也叫作费马猜想，但后人没有找到费马的证明.
一般公认，他当时不可能有正确的证明，只是用他发明的、巧妙的无穷递降法，证明了方程x4＋y4=z4当3个未知数都不为零时，没有整数解.而后，误认为这个方法可以证明猜想本身，便写下了那段话，但事实上，这个方法一般情况下并不适用.
猜想提出后的近350多年来，包括莱布尼茨（Leibniz)、欧拉、高斯等大数学家在内的数学家们，不断探索，但进展缓慢.
1847年，库默尔（Kummer)证明了指数是100以内的正整数时，该猜想成立.这是一次大的飞跃!他还在研究过程中，创立了新兴学科代数数论，这被认为是19世纪代数学上的最大成就，其意义已经远远超过证明该猜想本身.
1908年，德国年轻实业家菲尔夫斯克尔（Wolfskehl)，因为失恋而想自杀，无意间读到关于该猜想的“证明”，遂放弃了自杀念头.为感激该猜想挽救了他的性命，他立下遗嘱，把10万马克巨款赠给哥廷根皇家科学院，条件是款项作为奖金，授予第一个证明该猜想的人，限期100年，2007年9月13日到期.
1977年，瓦格斯塔夫（Wagstaff)证明了，对每个小于125000的质数，该猜想成立.(www.xing528.com)
1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯（Faltings)证明了莫德尔（Mordell)猜想正确，该证明间接证明了“当n＞4时，方程xn＋yn=zn至多有有限个解”.
1986年，瑞波特（Ribet)证明了“该猜想包含在谷山志村猜想中”，只要证明了后者也就证明了前者.
童年就痴迷于此的英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles)，得知这一信息后，便放弃所有与证明该猜想没有直接关系的研究，下班回家便潜心于顶楼书房面壁7年，曲折卓绝，汇聚20世纪数论几乎所有突破性成果，向该定理发起最后冲锋，终于在1993年6月23日，在剑桥大学由200多名世界数学家参加的大会上，报告宣布“我证明了费马大定理”.
但是，到了11月，他的导师指出他的证明有漏洞.12月怀尔斯承认存在问题，但表示很快会克服存在的问题，并约请自己的学生泰勒（Taylor)共同研究.
直到1994年9月19日早晨，怀尔斯思维的闪电突然照亮征程，答案就在废墟中!他热泪夺眶而出.最终，他更加简洁、完美地证明了费马猜想是正确的.
至此，一个困扰了人类近400年的著名难题获得了圆满解决.
1995年5月，怀尔斯的论文《模椭圆曲线与费马大定理》发表在《数学年刊》第142卷，占满全卷130页.
1996年3月怀尔斯获得了沃尔夫奖；1997年6月27日获得10万马克悬赏大奖，离截止期限仅差10年；1998年8月获得菲尔兹特别奖.
费马大定理还能推广吗？
1986年，诺姆·埃尔吉斯（NoamElkies)给出了方程x4＋y4＋z4=w4的一个正整数解，从而推翻了这个猜想.这个反例是：
事实上，还可举出底数更小的反例：
而且，当n≤k时，大定理也不能推广.例如：
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