解三元一次不定方程-初等数论

本节在上节的基础上，讨论三元一次不定方程有无整数解的判定，以及有解时的求解方法.

定义1 方程ax＋by＋cz=d（a，b，c，d∊Z，abc≠0)叫作三元一次不定方程，其中x，y，z是未知数.

与二元一次不定方程的有关结论类似，关于三元一次不定方程，如何判定其有无整数解？我们有下面的定理.

定理1 方程ax＋by＋cz=d（a，b，c，d∊Z，abc≠0)有整数解⇔（a，b，c)|d.

证明 必要性.

设方程有整数解（x0，y0，z0)，则ax0＋by0＋cz0=d，

∵（a，b，c)|a，（a，b，c)|b，（a，b，c)|c，∴（a，b，c)|d.

充分性.

设ax＋by=（a，b)t=mt（t∊Z)，则mt＋cz=d，（m，c)=（a，b，c)|d，∴mt＋cz=d有整数解.

设（t，z)=（t0，z0)，则mt0＋cz0=d.

∵（a，b)=m|mt0，∴ax＋by=mt0有整数解x0，y0.

∴ax0＋by0=mt0，∴ax0＋by0＋cz0=mt0＋cz0=d.

即x0，y0，z0为原方程一个解.

事实上，该定理还可以推广到元数更多的线性不定方程.

例1 判断下列方程是否有整数解：

（1)18x＋21y＋6z=9； （2)4x-9y＋5z=8；

（3)18x＋2y＋6z=10； （2)17x＋51y＋34z=1001.

解 （1)因为（18，21，6)=3|9，所以有整数解.

（2)因为（4，-9，5)=1|8，所以有整数解.

（3)因为（18，2，6)=2|10，所以有整数解.

（4)因为（17，51，34)=17|/1001，所以无整数解.

由例1（1)，（3)可见，当方程未知数系数的最大公约数能整除常数时，方程等号两边可以同除以这个最大公约数，使得未知数的系数互质，而由例1（2)可见，当未知数的系数互质时，方程组一定有整数解.因此，我们可以得到定理的如下推论.

推论 当方程ax＋by＋cz=d（a，b，c，d∊Z，abc≠0)满足（a，b，c)=1时，必有整数解.

定理的充分性证明是构造性的，即过程本身给出了一种求解的方法，下面举例说明解法.

例2 解方程6x＋7y＋2z=3.

解 因为三个未知数的系数互质，所以其中至少有两个互质.取其作为二元方程的系数，即设6x＋7y=t（t视为常数)，则必有整数解

将6x＋7y=t代入原方程得(www.xing528.com)

本题也可设7y＋2z=t来解，得到的解的表达式一般说来与前者不同，但两个表达式所表示的解集相等.

例3 解方程4x＋7y＋14z=40.

解 用分离整数法，系数绝对值最小者为4，用4去除方程，得

关于三元一次不定方程有无解的判定和有解时的求法，可以推广到四元乃至更多元数的一次不定方程.感兴趣的读者可以阅读本书末所列参考书.

由于三元一次不定方程的整数解，是通过两个自由变量来表示的，若求其正整数解，令通解中的三式都大于0，则会得到一个关于两个自由变量的二元一次不等式组，解这样一个不等式组非常麻烦，超出了我们讨论的范围.因此，我们只能用特殊方法，求特殊三元一次不定方程的正整数解.下面我们给出一个未知数系数同号的例子.

例4 求方程13x＋6y＋9z=83的正整数解.

解 三个未知数系数中13最大，由方程解得与其相对应的未知数：

因为求正整数解，故0＜x=（83-6y-9z)/13≤（83-6-9)/13≤5.

分别把x=1，2，3，4，5代入原方程，得到5个二元一次不定方程，判断这5个方程有无整数解：可知，当x=1，3，4时所得方程无整数解；当x=5时所得方程有整数解，但无正整数解；只有当x=2时有整数解，而且有3个正整数解.从而可以得到本题的3个答案：

先解得与系数最大者对应的未知数，只是为了分类得到的二元方程个数较少，计算量较小，但这不是必须的.

解 依题意，有

整理得40x＋y-24z=0，故y=24z-40x=8（3z-5)，故8|y.

∵0≤y＜7，y∊N，∴y=0，∴40x-24z=0，∴5x-3z=0.

解这个二元一次不定方程得通解：x=3t，z=5t（t∊Z).

∵0＜x，z＜7，∴t=1，∴x=3，z=5，∴72×5＋7×0＋3=248.

即该数用十进制表示为248.

习题3.2

1.当k取哪些两位数时，方程12x＋15y-12z=k/5有整数解？

2.求下列方程的整数解：

（1)9x＋24y-5z=1000；（2)15x＋10y＋6z=61.

3.求下列方程的正整数解：

（1)x＋2y＋11z=20；（2)8x＋9y＋11z=48.

4.把一根30米长的钢料，截成规格分别为2米、3米和8米的短料，每种规格的料至少一根，问应当怎样截取才使原料恰好用完？

5.有三种书，每本价格分别为30元、50元和40元，问用270元钱买这三种书，恰好用完钱，每种都买，有几种买法？

6.某人早起6点以6千米的时速从甲地步行去火车站，到站就登上时速为74千米的火车，下车又上了时速为42千米的汽车，当天下午到达乙地，他通过的总路程为524千米.若步行、乘火车、乘汽车的时间以小时计都是整数，问他从甲地到乙地共用了多长时间？