17世纪，法国数学家梅森证明了质数p=2，3，5，7，13，17，19时，下列各数都是质数：
1750年，欧拉又证明了当p=31时，231-1也是质数.
探索2p-1是否是质数的问题引起了后人的极大兴趣.因此，人们把形如2p-1（p为质数)的数叫作梅森数，记作Mp=2p-1.
显然，并不是所有梅森数都是质数.例如，M11=211-1=2047=23×89就是合数.
人们为了研究哪些梅森数是质数，自然对其性质进行了一般性探索研究，得到了如下结论：
定理1 设质数p＞2，则梅森数中的质因数必形如2pk＋1，其中k为正整数.
定理2 若d是使得ad≡1（modm)成立的最小正整数，又有一个正整数n，使得an≡1（modm)成立，则d|n.特别地，有d|φ（m).
定理2给出了一个判断梅森数是否是质数的必要条件，供人们进行逐一检验、筛选.
例如，判断M29=229-1是质数还是合数，其筛选过程如下：
根据定理1，229-1=536870911的质因数应形如2pk＋1=58k＋1，其中k为正整数.
从小到大逐一取k=1，2，…，代入58k＋1，只取质数，检验挑出的质数可否整除M29=229-1.(www.xing528.com)
例如，当k=1时，58k＋1=59是质数，用59去除229-1=536870911不能整除；当k=2时，58×2＋1=117是合数，不要；当k=3时，58×3＋1=175是合数，不要；当k=4时，58×4＋1=233是质数，用233去除229-1=536870911，发现229-1=536870911=233×2304167是合数.
寻找梅森数中的质数，即寻找质数p，使得Mp=2p-1为质数，即梅森质数，仍是近代数论研究的课题之一.梅森质数稀奇而迷人，被人们称为“数海明珠”，近一百年来，人们发现的超大质数几乎都是梅森质数.
除了梅森和欧拉找到的8个梅森质数之外，自欧拉之后，寻找梅森质数的世界纪录，不断被刷新.
在手工计算时代，人们一共只找到12个梅森质数.1952年美国数学家拉斐尔·鲁宾逊（RaphaelRobinson)使用大型计算机，几小时内就找到了5个.
据搜狐网2018年2月1日消息称，2018年1月13日，日本发行了一本叫作《最大的素数》的书，厚约32mm，719页，整本书只印了一个数277232917-1.这是目前为止人类发现的最大质数，共有23249425位，这也是第50个梅森质数.
这个质数是由美国田纳西州电器工程师乔纳森·佩斯（JonathanPace)在2017年12月26日发现的.他使自己的一台Corei5 6600电脑连续运行了6天，并由4个人在5个不同平台上使用4种不同算法进行了验证.乔纳森·佩斯加入“GIMPS计划”寻找梅森质数已经超过14年.
寻找梅森质数必须具有高深理论预测和海量计算能力.对这个家族的好奇造就了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——“互联网梅森质数大搜索”（GIMPS计划).这是1995年由毕业于麻省理工学院的程序设计师乔治·奥特曼（George Woltman)编制的一个寻找梅森质数的程序，供爱好者免费使用.
目前，有192个国家的60多万人参与搜索寻找，但还是不易找到.这项工作在计算机工程领域的价值远远大于在数学领域的价值，它是对计算机性能进行检验的重要手段，在一定程度上反映了一个国家的科技水平.
20世纪90年代，克雷、苹果、英特尔公司在测试计算机功能时，就利用了梅森质数.不久前德国的一个GIMPS项目参与者发现，当英特尔公司的第六代Core处理器在执行Prime95用来搜索梅森质数时，运算到指数为14942209时触发了系统死机的漏洞.对此进展感兴趣的读者，可以关注“GIMPS”网站.
是否有无穷多个梅森质数仍是数论中尚未解决的难题之一.值得注意的是，梅森质数也在应用科学如编码学中得到了应用.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
