上面我们介绍了模两两互质的同余方程组的解法.当模不两两互质时，同余方程组是否有解？如何判定？有解时，如何求解？
下面我们先介绍有无解的判定.
定理2 设m1，m2∊N*，b1，b2∊Z，则同余方程组
证明 必要性.
充分性.
由上节定理2可知，同余方程x≡b1（modm1)有解，设解为x=b1＋m1t（t∊Z)，代入同余方程x≡b2（modm2)，得b1＋m1t≡b2（modm2)，∴m1t≡b2-b1（modm2).
这是一个关于整数变数t的同余方程.
∵（m1，m2)|（b1-b2)，∴（m1，m2)|（b2-b1).
由上节定理3可知，关于整数变数t的同余方程m1t≡b2-b1（modm2)有解.故同余方程组有解.
推论 设mk∊N*，bk∊Z（k=1，2，…，n)，则同余方程组x≡bk（modmk)有解⇔（mk，ml)|（bk-bl)（k≠l，k，l=1，2，…，n).
例4 判断下列同余方程组是否有解：解 （1)因为（2×32，22×33)=18|/（1-11)，故无解.
（2)因为（2×32×5，23×3)=6|（1-7)，
所以同余方程组（2)有解.
下面我们介绍求解方法及其理论根据.
显然，我们只要把所给同余方程组转化为与其同解的符合定理1条件的同余方程组，即可由定理1给出的方法解得答案.为实现这种转化，我们先证明两个定理.
定理3 设
证明 设r是满足同余方程的任一整数，则r≡a（modm).
这说明，r也满足同余方程组.
显然，我们只要证得第一个同余方程的解也是第二个同余方程的解即可.而且，b1与b2相等与否均可，谁大谁小无所谓.
证明 设r是满足第一个同余方程的任一整数，则r≡b1（modpα).∵α≥β，∴pβ|pα，∴r≡b1（modpβ).
∵同余方程组有解，
∴（pα，pβ)=pβ|（b1-b2)，∴b1≡b2（modpβ).
∵r≡b1（modpβ)，∴r≡b2（modpβ).
故r也是第二个同余方程的解.(www.xing528.com)
解 这是例4（2)，故有解.由定理3和定理4可知，把每个方程化为模只含同底幂的几个同余方程；在得到的同余方程中，取同底幂指数最高的模的同余方程；合并余数相同且前面没取到的底数的幂为模的同余方程，构成同解于原方程组的符合剩余定理条件的方程组.
其中的3个模两两互质，由剩余定理求解如下：
例6 今有数不知总，以五累减之无剩，以七百一十五累减之剩十，以二百四十七累减之剩一百四十，以三百九十一累减之剩二百四十五，以一百八十七累减之剩一百零九，问总数若干？（黄宗宪《求一术通解》)
解 设总数为x，则由题意可得
故有解.
三模两两互质，由剩余定理可得
由96577M′1≡1（mod55)解取M′1=18；
由21505M′2≡1（mod247)解取M′2=139；
由13585M′3≡1（mod391)解取M′3=43.
x≡10×96577×18＋140×21505×139＋245×13585×43
≡10020（mod5311735).
答：总数最小为10020（该题化简时要注意到x≡109≡10（mod11)).
例7 甲乙两港之间的距离不超过5000公里，今有3只船于某天0时同时从甲港开往乙港.假定3只船每天24小时都匀速航行，若干天后的0时，第一只到达，几天后的18时第二只到达，再过几天后的8时，第三只到达.假如第一、第二、第三只船每天分别航行300公里、240公里、180公里.问甲乙两港相距多少公里？3只船各航行多长时间？
解 第二只船18小时走了240×（18÷24)=180公里，第三只船8小时走了180×（8÷24)=60公里.设甲乙两港相距x公里，由题意得
与之同解的符合剩余定理条件的同余方程组为
解之得x≡3300（mod3600).由题意取x=3300（公里).
答：两港相距3300公里，第一、第二、第三只船分别航行11天、13天又18小时和18天又8小时.
习题2.6
1.判断下列同余方程组是否有解：
3.解下列同余方程组：
4.解下列同余方程组：
5.某班参加年级队列比赛，参加者4人一排剩1人，5人一排剩2人，7人一排剩3人，问该班有多少人参加比赛？
6.一辆卡车运货物，每趟运11袋剩8袋，每趟运8袋剩3袋，每趟运12袋剩7袋.问这批货物至少多少袋？
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