【摘要】：，m-1)中的一类，这与假设矛盾.故，有且仅有m个不同的剩余类.定理2 模m的一个剩余类中的一切数，与模m的最大公约数相等.证明 设a=mk＋r，b=mq＋r（k，qZ，r=0，1，2，…，m-1).∵（a，m)=（m，r)，（b，m)=（m，r)，∴（a，m)=（b，m).例如，对模5余1的一类中的数5m＋1和5q＋1，与5的最大公约数同为1；对模6余2的一类中的数6m＋2和6q＋2，与6的最大公约数同为2.
大家知道，一个整数除以m所得最小非负余数是0，1，2，…，m-1这m个数之一.所以，以m为模可将整数分为m类：
在这m类中，每一类中的所有数对m同余，而任意两个不同类中的数对m不同余.这样，我们就可以定义同余类或者叫作剩余类.
定义1 对模m同余的数的集合，叫作模m的一个同余类或剩余类.用[r]m表示对模m同余r的剩余类.
例如，5k，5k＋1，5k＋2，5k＋3，5k＋4（k是整数)是模5的5个不同的剩余类.可依次记作[0]5，[1]5，[2]5，[3]5，[4]5.
定理1 对模m有且仅有m个互不相同的剩余类.
证明 存在性.
一切整数除以m所得最小非负余数不外乎0至m-1这m个数，所以，对模m存在m个互不相同的剩余类
唯一性.
若除了上述m个不同的剩余类之外，还有一个，不妨设为
km＋t （k∊Z，t≠0，1，2，…，m-1)，t=mq＋s （q∊Z，s=0，1，2，…，m-1)，(www.xing528.com)
则km＋t=km＋mq＋s=（k＋q)m＋s.
∵k，q∊Z，∴k＋q∊Z.
可见，km＋t（k∊Z，t≠0，1，2，…，m-1)仍属于km＋r（k∊Z，r=0，1，2，…，m-1)中的一类，这与假设矛盾.
故，有且仅有m个不同的剩余类.
定理2 模m的一个剩余类中的一切数，与模m的最大公约数相等.
证明 设a=mk＋r，b=mq＋r（k，q∊Z，r=0，1，2，…，m-1).
∵（a，m)=（m，r)，（b，m)=（m，r)，
∴（a，m)=（b，m).
例如，对模5余1的一类中的数5m＋1和5q＋1，与5的最大公约数同为1；对模6余2的一类中的数6m＋2和6q＋2，与6的最大公约数同为2.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
