初等数论中特殊数的整除特征及整值多项式同余性

在第一章我们曾借用一个例题介绍过特殊数的整除特征，并指出会在本章作详细介绍.

在此，为了学习特殊数的整除特征，我们先介绍整值多项式的同余性.

定理6 设有两个同次的整系数多项式

若ai≡bi（modm)（i=0，1，2，…，n)，x≡y（modm)，则f（x)≡g（y)（modm).

证明 ∵x≡y（modm)，∴xk≡yk（modm)（k=1，2，…，n).

由该定理即可得到特殊数的整除特征.

我们希望找到一个比较小的数R作为特征数，便于判断N的整除性，当然R应满足N≡R（modm).

（1)被2或5，4或25整除的数的特征.

由于10≡0（mod2)，10≡0（mod5)，故

这表明，被2或5整除的数N的特征是：数N的末位数字能被2或5整除.

同理：由于100≡0（mod4)，100≡0（mod25)，故

这表明，被4或25整除的数N的特征是：数N的末两位数能被4或25整除.

依此类推，我们可以得到被8或125整除的数的特征.

（2)被3或9整除的数的特征.

由于10≡1（mod3)，故

这表明，能被3整除的数N的特征是：数N的各数位上的数字之和能被3整除.

同理可得能被9整除的数N的特征是：数N的各数位上的数字之和能被9整除.

（3)被11整除的数的特征.

由于10≡-1（mod11)，所以

这表明，能被11整除的数N的特征是：数N的各奇数位上的数字之和与各偶数位上的数字之和的差能被11整除.

例7 设a≡p（mod9)，b≡q（mod9)，c≡r（mod9)，若ab=c，则pq≡r（mod9).

证明 ∵c=ab≡pq（mod9)，c≡r（mod9)，

∴pq≡r（mod9).

值得注意的是，由于命题与其逆否命题等价，因而，该命题的逆否命题可用来判定乘法运算结果的错误；但由于该命题的逆命题不真，因而不能用逆命题来判定乘法运算结果的正确.例如，由(www.xing528.com)

可以判定28947×34578=1001865676不成立.由

不能判定28997×39459=1144192533成立.

也可用与该命题类似的结论来断定加、减、除法运算结果的错误.这种验算四则运算结果错误的方法，叫作弃九验算法.

习题2.1

1.判断下列各式是否成立：

（1)6≡20（mod7)； （2)-2≡2（mod8)； （3)132≡2（mod3)；

（4)15≡-1（mod7)； （5)120≡1（mod7)； （6)-133≡17（mod10).

2.求下列各数关于模7同余的最小整数：

（1)10； （2)1000； （3)100000 （4)1000000.

3.判断下列各式的对错，对的证明，错的举出反例：

（1)若a≡b（modm)，c∊Z，则ac≡bc（modm)；

（2)若ac≡bc（modm)，c|m，则a≡b（modm)；

（3)若a2≡b2（modm)，则a≡b（modm)；

（4)若a≡b（mod2)，则a2≡b2（mod22).

4.求证：若a＋c≡b（modm)，则a≡b-c（modm).

5.求证：（1)33|（255＋1)；（2)168|（136n-1)（n∊N*).

6.找出并证明被8或125整除的数的特征.

7.求250，3406的末两位数.

8.求13除648的余数.

9.求使2n＋1能被5整除的所有正整数n.

11.一个正整数，如果颠倒顺序后来读仍是此数，则称之为回文数.例如，33，1441，9213129等都是回文数.

（1)求证：每个4位回文数都能被11整除；

（2)6位回文数和7位回文数能被11整除吗？