在数学和生产生活实践中，有时我们需要关心两个整数除以另外同一个整数所得到的余数是否相同，而不必关心其商分别是多少.
例如，今天是星期六，从今天算起第36天和第43天分别是星期几？这个问题，我们只要关心36和43除以7的余数即可，余数都是1，所以，答案都是星期日.
36和43除以7都余1，则称36和43关于模7同余；8和21除以6余数不同，则称8和21关于模6不同余.
一般地，若两个整数a，b被一个大于1的正整数m除得的余数相同，则称a和b关于模m同余；若余数不同，则称a和b关于模m不同余.
即我们可定义如下.
定义1 设a，b∊Z，m∊N*.
若当a=mq1＋r1，b=mq2＋r2（q1，q2，r1，r2∊Z，0≤r1，r2＜m)时，r1=r2，则称a和b关于模m同余，记作a≡b（modm)；否则，称a和b关于模m不同余，记作a≢b（modm).
例如，21≡3（mod6)，-13≡7（mod10)，13≢2（mod5).
当模m=1时，由定义可知，任意两个整数同余0，讨论这样的问题意义不大，与引入同余概念的宗旨不符，故此后默认m＞1.
用定义判断是否同余，要进行除法运算，一般说来比较麻烦.我们可以借用整除知识，直接进行判断，其方法和依据如下.
定理1 a≡b（modm)⇔m|（a-b).
证明 设a=mq1＋r，b=mq2＋r（0≤r＜m)，则
∵q1，q2∊Z，∴q1-q2∊Z，
∴m|（a-b).
反之，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2（0≤r1，r2＜m).
∵m|（a-b)=m（q1-q2)＋（r1-r2)，m|m（q1-q2)，
∴m|（r1-r2).(www.xing528.com)
∵0≤r1，r2＜m，∴0≤|r1-r2|＜m.
∴r1-r2=0，r1=r2.
∴a≡b（modm).
例如，因为-17-13=-30，5|（-30)，所以，-17≡13（mod5).
该定理沟通了同余与整除的关系，在推理或解决问题时，可以根据需要将两者相互转化.
∵m|（a-b)⇔a-b=mt（t∊Z)⇔a=b＋mt，
∴a≡b（modm)⇔a=b＋mt.
这样，我们就可以得到如下推论.
推论 a≡b（modm)⇔a=b＋mt（t∊Z).
该推论沟通了同余与相等的关系，在推理或解决问题时，可以根据需要将两者相互转化.
由定理和推论可知，除法等式、整除式与同余式三者可以相互转化.
例如，n=8t＋7（t∊Z)⇔8|（n-7)⇔n≡7（mod8).
例1 判断下列各式是否成立：
（1)31≡-9（mod20)；（2)199≡0（mod9).
解 （1)因为20|31-（-9)，故成立.
（2)因为9|/199，故不成立.
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