定义1 若S（n)=2n，则称n为完全数.即若n等于所有小于n的正因数之和，则称n为完全数.
如6，28，496，8128都是完全数.
定理5 设p为质数，若2p-1为质数，则2p-1（2p-1)为完全数.
证明 设n=2p-1（2p-1)，2p-1为质数，则S（2p-1)=2p.
∵（2p-1，2p-1)=1，∴由本节习题第3题的结论可知，
∴2p-1（2p-1)为完全数.
形如2p-1（p为质数)的数叫作梅森(Mersenne)数，显然，并不是所有梅森数都是质数.如M11=211-1=2047=23×89就是合数.当梅森数是质数时，叫作梅森质数.
上述定理说明若有一个梅森质数2p-1（其中p为质数)，就会得到一个形如2p-1（2p-1)的完全数，而且，该类型完全数为偶完全数.
截至2017年底，人们共发现了50个梅森质数（详见第二章末拓展阅读)，因而也就得到了50个偶完全数.
是否还存在其他形式的偶完全数呢？欧拉证明了“一个数如果是偶完全数，必形如2p-1（2p-1)，其中p和2p-1均为质数”.
如此说来，由定理5得到的完全数就是全部偶完全数.至于是否存在奇完全数仍是未解之谜.
定义2 在两个正整数中，若一个数的所有正因数之和恰好等于另一个数，则称这两个正整数为一对互友数或亲和数.
如220与284，1184与1210是两对亲和数.
由定义2知，当且仅当S（n)=S（m)=n＋m时，n与m是一对互友数.(www.xing528.com)
请大家自己验证2620与2924是一对互友数吗？你的年龄和你同桌的年龄是一对互友数吗？
对完全数与互友数感兴趣的读者，可阅读本书末所列参考书9.
习题1.8
1.对大于1的正整数a，若d（a)=2，问a是质数还是合数？
2.对正整数a，若d（a)=8，问a的最小值是什么？
3.设（n，m)=1，求证：
4.求d（750750)，S（750750)；d（304)，S（304).
5.求不大于200且恰有15个正因数的正整数.
6.若a=695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1，求d（a).
7.5020与5564，6232与6368都是互友数吗？
8.求所有正因数之和等于12的正整数.
9.分别求1998，720和144各自的所有正因数的倒数之和.
10.求四个不超过70000的正整数，使每一个的正因数个数都大于100.
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