【摘要】：正整数n的所有不同正因数之和记作S，下面我们按n含有的质因数的个数来讨论.当n只含有一个质因数时.例如，16的不同正因数有：1，2，22，23，24.其和为当n只含有两个质因数时.例如，72=23×32，其正因数有求其和可先求各行（或列)之和，然后再把各行（或列)之和相加.故若n=pmqn，则下面试证这个结论.第k个括号内任取一项，有αk＋1种取法（k=1，2，…
正整数n的所有不同正因数之和记作S（n)，下面我们按n含有的质因数的个数来讨论.
（1)当n只含有一个质因数时.
例如，16的不同正因数有：1，2，22，23，24.其和为
（2)当n只含有两个质因数时.
例如，72=23×32，其正因数有
求其和可先求各行（或列)之和，然后再把各行（或列)之和相加.故
若n=pmqn（p，q是互异质数，m，k为正整数)，则
下面试证这个结论.
第k个括号内任取一项，有αk＋1种取法（k=1，2，…，m)，故k个括号内各任取一项，有（α1＋1)（α2＋1)…（αm＋1)=d（n)种取法，即共有d（n)个这样的积.
由第4节定理5（算术基本定理)推论可知，每个这样的积都是n的一个正因数，反之，n的任一正因数必是这样的积中的一个，故所有这样的积作成的和就是n的所有正因数之和S（n).即(www.xing528.com)
这说明我们的猜想是正确的，从而得到了如下定理.
例4 求S（540).
例5 求形如2k3m的正整数，使其所有正因数之和为403.
有如下四种可能情形：
上述四种情形只有最后一组有正整数解k=4，m=2，故只有24×32=144的所有正因数之和为403.
例6 求2018所有正因数的倒数之和.
解 ∵2018=2×1009，∴d（2018)=（1＋1)×（1＋1)=4，写出4个因数1，2，1009，2018的倒数再相加即可得到答案.
但当正因数的个数比较大时，例如把2018换为720或144，用上面的方法就太麻烦了.下面我们介绍通用的一般性方法.
设2018的4个正因数分别为x1，x2，x3，x4，可按乘积等于2018分为2组，不妨设x1x2=x3x4=2018，则
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